Maths ...

Problème n ° 104

Un casse-tête, le corrigé

• Enoncé du problème n° 104

  Un test pour enfants pose problème aux gros cerveaux du W... Ce casse-tête, qui consiste à remplir des cases vides par des chiffres de 1 à 9, a été présenté à des élèves de CE2 dans une classe de Bao Loc, au Vietnam.
  Les chiffres 1 à 9 doivent tous être utilisés !
  Comme le souligne le Guardian, ce problème composé d’opérations simples comme des additions et des multiplications, ne devrait pas en théorie être compliqué à résoudre. Mais selon le professeur Tran Phuong qui l’a proposé à sa classe, cette simplicité n’est qu’apparente : « Il est difficile, même pour des adultes bons en maths ».
  Il a en effet envoyé le casse-tête à son entourage, y compris à un Docteur en économie et mathématiques, mais personne n’a su trouver la réponse… Et vous, y parviendrez-vous ? 
  On vous aide : les deux points représentent le symbole « diviser ».

• Correction du problème n°104

  On peut bien sûr chercher des solutions par tatonnement, ou chercher toutes les solutions avec un script Python.
  Si on note $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ les nombres dans l'ordre d'apparition:
  On doit avoir $$a+13\times\dfrac{b}{c} +d+12\times e -f-11+g\times \dfrac{h}{i}-10=66 $$

• Un script Python

  
  # Un casse-tête
  import itertools
  Sol=[]
  l=[1,2,3,4,5,6,7,8,9]
  for p in itertools.permutations(l):
      R=p[0]+(13*p[1]/p[2])+p[3]+12*p[4]-p[5]-11+p[6]*p[7]/p[8]-10
      if R==66:
          Sol.append([p[0],p[1],p[2],p[3],p[4],p[5],p[6],p[7],p[8]])
          
  print(Sol)
  

  Et voici la liste des 128 solutions !
  [[1, 2, 6, 4, 7, 8, 3, 5, 9], [1, 2, 6, 4, 7, 8, 5, 3, 9], [1, 3, 2, 4, 5, 8, 7, 9, 6], [1, 3, 2, 4, 5, 8, 9, 7, 6], [1, 3, 2, 9, 5, 6, 4, 7, 8], [1, 3, 2, 9, 5 , 6, 7, 4, 8], [1, 3, 4, 7, 6, 5, 2, 9, 8], [1, 3, 4, 7, 6, 5, 9, 2, 8], [1, 3, 6, 2, 7, 9, 4, 5, 8], [1, 3, 6, 2, 7, 9, 5, 4, 8], [1, 3, 9, 4, 7, 8, 2, 5, 6], [1, 3, 9, 4, 7, 8, 5, 2, 6], [1, 4, 8, 2, 7, 9, 3, 5, 6], [1, 4, 8, 2, 7, 9, 5, 3, 6], [1, 5, 2, 3, 4, 8, 7, 9, 6], [1, 5, 2, 3, 4, 8, 9, 7, 6], [1, 5, 2, 8, 4, 7, 3, 9, 6], [1, 5, 2, 8, 4, 7, 9, 3, 6], [1, 5, 3, 9, 4, 2, 7, 8, 6], [1, 5, 3 , 9, 4, 2, 8, 7, 6], [1, 9, 6, 4, 5, 8, 3, 7, 2], [1, 9, 6, 4, 5, 8, 7, 3, 2], [ 1, 9, 6, 7, 5, 2, 3, 4, 8], [1, 9, 6, 7, 5, 2, 4, 3, 8], [2, 1, 4, 3, 7, 9, 5, 6 , 8], [2, 1, 4, 3, 7, 9, 6, 5, 8], [2, 3, 6, 1, 7, 9, 4, 5, 8], [2, 3, 6, 1, 7, 9, 5, 4, 8], [2, 4, 8, 1, 7, 9, 3, 5, 6], [2, 4, 8, 1, 7, 9, 5, 3, 6], [2, 8, 6, 9, 4, 1, 5, 7, 3], [2, 8, 6, 9, 4, 1, 7, 5, 3], [2, 9, 6, 3, 5, 1, 4, 7, 8], [2 , 9, 6, 3, 5, 1, 7, 4, 8], [3, 1, 4, 2, 7, 9, 5, 6, 8], [3, 1, 4, 2, 7, 9, 6, 5, 8], [3, 2, 1, 5, 4, 7, 8, 9, 6], [3, 2, 1, 5, 4, 7, 9, 8, 6], [3, 2, 4, 8, 5, 1 , 7, 9, 6], [3, 2, 4, 8, 5, 1, 9, 7, 6], [3, 2, 8, 6, 5, 1, 7, 9, 4], [3, 2, 8, 6, 5, 1, 9, 7, 4], [3, 5, 2, 1, 4, 8, 7, 9, 6], [3, 5, 2, 1, 4, 8, 9, 7, 6], [3, 6, 4, 9, 5, 8, 1, 7, 2], [3, 6, 4, 9, 5, 8, 7, 1, 2], [3, 9, 2, 8, 1, 5, 6, 7, 4], [3, 9, 2, 8, 1, 5, 7, 6, 4], [3, 9, 6, 2, 5, 1, 4, 7, 8], [3, 9, 6, 2, 5, 1, 7, 4, 8], [4, 2, 6, 1, 7, 8, 3, 5, 9], [4, 2, 6, 1, 7, 8, 5, 3, 9], [4, 3, 2, 1 , 5, 8, 7, 9, 6], [4, 3, 2, 1, 5, 8, 9, 7, 6], [4, 3, 9, 1, 7, 8, 2, 5, 6], [4, 3, 9, 1, 7, 8, 5, 2, 6], [4, 9, 6, 1, 5, 8, 3, 7, 2], [4, 9, 6, 1, 5, 8, 7, 3, 2 ], [5, 1, 2, 9, 6, 7, 3, 4, 8], [5, 1, 2, 9, 6, 7, 4, 3, 8], [5, 2, 1, 3, 4, 7, 8, 9, 6], [5, 2, 1, 3, 4, 7, 9, 8, 6], [5, 3, 1, 7, 2, 6, 8, 9, 4], [5, 3, 1, 7, 2, 6, 9, 8, 4], [5, 4, 1, 9, 2, 7, 3, 8, 6], [5, 4, 1, 9, 2, 7, 8, 3, 6], [5, 4 , 8, 9, 6, 7, 1, 3, 2], [5, 4, 8, 9, 6, 7, 3, 1, 2], [5, 7, 2, 8, 3, 9, 1, 6, 4] , [5, 7, 2, 8, 3, 9, 6, 1, 4], [5, 9, 3, 6, 2, 1, 7, 8, 4], [5, 9, 3, 6, 2, 1, 8 , 7, 4], [6, 2, 8, 3, 5, 1, 7, 9, 4], [6, 2, 8, 3, 5, 1, 9, 7, 4], [6, 3, 1, 9, 2, 5, 7, 8, 4], [6, 3, 1, 9, 2, 5, 8, 7, 4], [6, 9, 3, 5, 2, 1, 7, 8, 4], [6, 9, 3, 5, 2, 1, 8, 7, 4], [7, 1, 4, 9, 6, 5, 2, 3, 8], [7, 1, 4, 9, 6, 5, 3, 2, 8], [7, 2, 8, 9, 6, 5, 1, 3, 4], [7, 2, 8, 9, 6, 5, 3, 1, 4], [7, 3, 1, 5, 2, 6, 8, 9, 4], [7, 3, 1, 5, 2, 6, 9, 8, 4], [7, 3, 2, 8, 5, 9, 1, 6, 4], [7, 3, 2, 8, 5 , 9, 6, 1, 4], [7, 3, 4, 1, 6, 5, 2, 9, 8], [7, 3, 4, 1, 6, 5, 9, 2, 8], [7, 5, 2, 8, 4, 9, 1, 3, 6], [7, 5, 2, 8, 4, 9, 3, 1, 6], [7, 6, 4, 8, 5, 9, 1, 3, 2], [7, 6, 4, 8, 5, 9, 3, 1, 2], [7, 9, 6, 1, 5, 2, 3, 4, 8], [7, 9, 6, 1, 5, 2, 4, 3, 8], [8, 2, 4, 3, 5, 1, 7, 9, 6], [8, 2, 4, 3, 5, 1, 9, 7, 6], [8, 3, 2, 7, 5, 9, 1, 6, 4], [8, 3, 2, 7, 5, 9, 6, 1, 4], [8, 5, 2, 1, 4, 7, 3, 9, 6], [8, 5, 2 , 1, 4, 7, 9, 3, 6], [8, 5, 2, 7, 4, 9, 1, 3, 6], [8, 5, 2, 7, 4, 9, 3, 1, 6], [ 8, 6, 4, 7, 5, 9, 1, 3, 2], [8, 6, 4, 7, 5, 9, 3, 1, 2], [8, 7, 2, 5, 3, 9, 1, 6 , 4], [8, 7, 2, 5, 3, 9, 6, 1, 4], [8, 9, 2, 3, 1, 5, 6, 7, 4], [8, 9, 2, 3, 1, 5, 7, 6, 4], [9, 1, 2, 5, 6, 7, 3, 4, 8], [9, 1, 2, 5, 6, 7, 4, 3, 8], [9, 1, 4, 7, 6, 5, 2, 3, 8], [9, 1, 4, 7, 6, 5, 3, 2, 8], [9, 2, 8, 7, 6, 5, 1, 3, 4], [9 , 2, 8, 7, 6, 5, 3, 1, 4], [9, 3, 1, 6, 2, 5, 7, 8, 4], [9, 3, 1, 6, 2, 5, 8, 7, 4], [9, 3, 2, 1, 5, 6, 4, 7, 8], [9, 3, 2, 1, 5, 6, 7, 4, 8], [9, 4, 1, 5, 2, 7 , 3, 8, 6], [9, 4, 1, 5, 2, 7, 8, 3, 6], [9, 4, 8, 5, 6, 7, 1, 3, 2], [9, 4, 8, 5, 6, 7, 3, 1, 2], [9, 5, 3, 1, 4, 2, 7, 8, 6], [9, 5, 3, 1, 4, 2, 8, 7, 6], [9, 6, 4, 3, 5, 8, 1, 7, 2], [9, 6, 4, 3, 5, 8, 7, 1, 2], [9, 8, 6, 2, 4, 1, 5, 7, 3], [9, 8, 6, 2, 4, 1, 7, 5, 3]]

Luc GIRAUD

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Problème n ° 103

Les mégots de cigarette, le corrigé

• Enoncé du problème n° 103

  Durant son temps en prison, Bruce se rend compte que s’il possède 3 mégots de cigarette, il peut les mélanger ensemble pour en faire une cigarette complète. A chaque fois qu’il fume une cigarette, celle ci devient un mégot de cigarette.
  Un jour, Bruce est dans sa cellule et discute avec son ami Steve.
  « Je veux vraiment fumer 5 cigarettes aujourd’hui, mais je n’ai que 10 mégots de cigarette. Je suis certain que ca ne sera pas suffisant. »
  « Pourquoi est-ce que tu ne voles pas les mégots de cigarette de Tom ? », demande Steve, en désigner la petite pile de mégots de cigarette présente sur le lit du troisième détenu, Tom, parti aujourd’hui faire des travaux d’intérêt général.
  « Je ne peux pas », dit Bruce, « Tom conte toujours exactement combien de mégots de cigarettes se trouvent dans sa pile, et il me tuerait s’il se rendait compte que j’en avait pris ».
  Cependant, après avoir réfléchi un petit moment, Bruce se rend compte qu’il existe une façon de fumer 5 cigarettes sans énerver Tom. Quel est son plan ?

• Correction du problème n°103

  Bruce prend 9 de ses 10 mégots et en fait 3 cigarettes au total. Il fume ces trois cigarettes, et se retrouve en possession de 4 mégots de cigarette.
  Il transforme ensuite 3 de ses 4 mégots en une autre cigarette et la fume. Il a désormais fumé 4 cigarettes et possède 2 mégots.
  Enfin, il part emprunter l’un des mégots de Tom. Avec cet mégot en plus des 2 mégots restants, il est capable de produire une cinquième cigarette à fumer.
  Après l’avoir fumé, il se retrouve avec un mégot, qu’il remet dans la pile de Tom afin qu’il ne se rende compte de rien.

Luc GIRAUD

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Problème n ° 104

Un casse-tête ?

Luc Giraud