Maths ...

Problème n ° 109

Une devinette, le corrigé

• Enoncé du problème n° 109

  Une urne contient $x$ boules noires, $y$ boules blanches et trois boules rouges, indiscernables au toucher. On tire, au hasard, une boule de l’urne.
  Sachant que la probabilité de tirer une boule noire est égale à $\frac{1}{4}$ et que celle d’obtenir une boule blanche est $\frac{5}{8}$ , déterminer le nombre de boules noires et de de boules blanches dans cette urne.

• Correction du problème n°109

  La probabilité de tirer une boule noire est : $\dfrac{x}{x+y+3}$.
  Donc $\dfrac{x}{x+y+3}=\dfrac{1}{4}. $
  Donc $4x=x+y+3.$ Soit $3x-y=3$.
  La probabilité de tirer une boule blanche est : $\dfrac{y}{x+y+3}$.
  Donc $\dfrac{y}{x+y+3} =\dfrac{5}{8}$ .
  Donc $8y=5x+5y+15$. Soit $-5x+3y=15$.
  Il s’agit alors de résoudre le système suivant :$$\left\lbrace \begin{array}{l} 3x-y=3~\\ -5x+3y=15 \end{array} \right. $$
  On multiplie par 3 la 1ère équation. On obtient : $$\left\lbrace \begin{array}{l} 9x-3y=9\\ -5x+3y=15 \end{array} \right. $$
  En ajoutant membre-à-membre les deux équations on obtient : $4x=24$. Donc $x=6$.
  Or, $3x-y=3$. Donc $3\times 6-y=3$. Soit $18-y=3$. Donc $ y=15$.
  Vérification : la probabilité de tirer une boule noire est : $\frac{6}{24}= \frac{1}{4}$.
  la probabilité de tirer une boule blanche est : $\frac{15}{24}= \frac{5}{8}$.
  Il y a donc 6 boules noires et 15 boules blanches dans cette urne.

Gilles Laurent

Maths ...

Problème n ° 109

Une devinette !

Gilles Laurent

Maths ...

Problème n ° 108

" Jetez votre calculatrice !", le corrigé

• Enoncé du problème n° 108

  Pour trois points $A, B$ et $C$ on donne
  $BC = 2 \;931 \;311 \; 626 \;097 $ ,
  $AC = 4,92 $ et
  $AB = \sqrt{17}$ ( unité le cm ).
  Démontrer que ce triangle ABC n'est pas rectangle !

• Correction du problème n°108

  La machine affiche pour le calcul de $BC^2$: 21,92 . (elle doit avoir raison !)
  De plus $AC^2 = (\sqrt{4,92 })^2 = 4,92$ (c’est certain) et $AB^2 = ( \sqrt{17} )^2 = 17 $ (c’est aussi une certitude)
  donc on a $ AC^2 + AB^2 = 4,92 + 17 = 21,92 $ qui est vraie .
  Si l’affichage de la machine est la valeur exacte de $BC^2$ , d’après le théorème de Pythagore j’en déduis que ce triangle $ABC$ sera rectangle en $A$ !
  sinon il ne l’est pas !! et il ne le sera pas non plus ni en B ni en C puisque BC est le coté le plus long.

  • a-t-on $\left(\dfrac{2 \;931 \;311 }{ 626\; 0972}\right)^2 = 21,92 $? \renewcommand{\arraystretch}{1.25} $$\begin{array}{rl} \left(\dfrac{2 \;931 \;311 }{ 626\; 0972}\right)^2 = 21,92 & \iff 2 \;931 \;311 ^2 = 21,92\times 626\; 0972 ^2 \\ & \iff2 \;931 \;311 ^2 \times 100 = 21 92\times 626\; 0972 ^2 \\ \end{array}$$ Le membre de gauche est un entier qui a 0 pour unité alors que le membre de droite est un entier qui a 8 pour unité.
    Donc l’égalité précédente ne peut pas être vérifiée !!!!
    conclusion : ce triangle n’est pas rectangle !!!!
    Demander le calcul de $ BC^2$ avec Géogébra ou Excel ... ( en affichant le plus de décimales possibles par cette application)

Michel Simonet