Maths ...

Problème n ° 108

" Jetez votre calculatrice !"

Michel Simonet

Maths ...

Problème n ° 105

Les élastiques, le corrigé

• Enoncé du problème n° 105

  $AB$ et $CD$ sont deux pièces de bois verticales sur une surface horizontale $AC$.
  $AD$ est un élastique qui peut être étiré théoriquement aussi loin que vous le souhaitez.
  $BC$ est plus long que $AD$, mais possède les mêmes propriétés.
  $P$ est le point d'intersection des deux élastiques.
  Démontrez que la hauteur $P$ au-dessus de la surface horizontale reste constante peu importe la longueur $AC$ (en supposant que les élastiques restent tendus).
  Dans l'exemple ci-dessus, $AB =$12 cm et $CD =$ 6 cm et je pourrais vous demander la distance constante $PQ$, peu importe la distance que mesure $AC$.

• Correction du problème n°105

  Une solution :
  On se place dans le repère où

  • $A(0,0); B(0,12);C(a,0),D(a,6)$
  • on calcule les coordonnées du point $P$ intersection des droites $(AD)$ et $(BC)$.
    On obtient $(AD): y=\frac{6}{a}x$ et $(BC): y=-\frac{12}{a}x+12$
  • On résout le système $\left\lbrace \begin{array}{l} y=\frac{6}{a}x\\ y=-\frac{12}{a}x+12 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l} y=\frac{6}{a}x\\ \frac{6}{a}x=-\frac{12}{a}x+12 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l} y=\frac{6}{a}\times \frac{ 2}{3}a =4\\ x= \frac{ 2}{3}a \end{array} \right. $
  • On a donc $P( \frac{ 2}{3}a;4)$ et $Q( \frac{ 2}{3}a;0)$ et donc $PQ=4$

  Une animation sous GeoGebra :

   

Luc GIRAUD

Maths ...

Problème n ° 105

Les élastiques

Luc Giraud