Maths ...

Problème n ° 84

QCM, le corrigé

• Enoncé du problème n° 84

  Dans un QCM de 20 questions, si l'on répond correctement, on marque 7 points, si l'on ne répond pas, on ne marque ni ne perd aucun point, si l'on répond de manière erronnée, on perd 2 points.
  Clément a obtenu la note de 87/140.
  A combien de questions a-t-il répondu ?

• Correction du problème n°84

  Posons $x$ le nombre de bonnes réponses de Clément et $y$ le nombre de ses mauvaises réponses.
  On a alors : $ 0 \leq x \leq 20 et 0 \leq y \leq 20.$
  $87 = x \times 7 - y \times 2$ et $x + y \leq 20$
  $87 = 12\times 7 + 3 $ donc $ x \geq 13$ Si $x = 13$ alors $87 = 13 \times 7 - 2\times 2$ ce qui donnerait $x = 13$ et $y = 2$ ce qui conviendrait.
  Si $x = 14$ alors $ 87 = 14 \times 7 - 11$ ce qui ne convient pas car 11 n'est pas un nombre pair.
  Si $x = 15$ alors $87 = 15 \times 7 - 9\times 2$ ce qui donnerait $x = 15$ et $y = 9$ ce qui neconvient pas car $x + y = 24$ ce qui dépasse le nombre de questions posées.
  Il est inutile de continuer à essayer des valeurs supérieures pour $x$ car $y$ serait encore plus grand.
  Conclusion:Clément a eu 13 bonnes réponses et 2 erreurs. Il a donc répondu à 15 questions sur les 20 proposées.

Florence TOURNIER

Maths ...

Problème n ° 84

QCM

Florence TOURNIER

Maths ...

Problème n ° 83

chevaux, le corrigé

• Enoncé du problème n° 83

  Un éleveur de chevaux a de quoi nourrir ses bêtes durant 30 jours.
  Il vend 20 bêtes et il a maintenant de quoi les nourrir pendant 40 jours.
  Combien avait-il de bêtes au départ ?

• Correction du problème n°83

  Posons $a$ la quantité de nourriture pour un cheval, par jour.
  Posons $x$ le nombre de chevaux au départ.
  Après la vente il en reste donc $x - 20$
  Pour les $x$ chevaux du départ, il fallait une quantité de nourriture égale à $ x \times a \times 30$ pour les nourrir les 30 jours.
  Pour les $x-20$ chevaux restant, il faut une quantité de nourriture égale à $ (x - 20) \times a \times 40$ pour les nourrir les 40 jours.
  Ces deux quantités de nourriture sont identiques donc il faut résoudre $ x \times a \times 30 = (x - 20) \times a \times 40$.
  $$\begin{array}{rl} x \times a \times 30 = (x - 20) \times a \times 40 & \iff x \times 30 = (x - 20) \times 40 \\ & \iff x \times 3 = (x - 20) \times 4 \\ & \iff 3x = 4x - 80 \\ &\iff x = 80 \end{array}$$ L'éleveur avait donc 80 chevaux au départ.

Florence TOURNIER