Des fourmis se déplacent, en ligne droite, à la queue leu leu, à vitesse constante, en formant une colonne de 50 cm de long. La dernière fourmi du groupe décide d’aller ravitailler la fourmi chef, et pour cela elle rejoint la tête de la colonne puis, sa mission étant accomplie, retourne aussitôt à la queue de la colonne.
Sachant que, pendant cet aller-retour, la vitesse de cette fourmi est restée constante et que la colonne a parcouru 50 cm, quelle est la distance parcourue par la fourmi ravitailleuse ?
Correction du problème n°97
Soit $v$ la vitesse de la colonie de fourmis en centimètres par seconde,
$V$ la vitesse de la fourmi,
$t_1$ le temps aller de la fourmi en secondes
et $t_2$ le temps de retour.
La distance aller est $d_1=Vt_1=vt_1+50$.
La distance retour est $d_2=Vt_2=50-vt_2$.
On en déduit $t_1=\dfrac{50}{V-v}$ et $t_2=\dfrac{50}{V+v}$.
On a donc $$50= \dfrac{50}{V-v}+\dfrac{50}{V+v}$$
En posant $X=\dfrac{V}{v}$, on a : $X^2-2X-1=0$
Cette équation a deux solutions : $X=1\pm\sqrt 2$ . On ne retient que $X=1+\sqrt 2$ car $1-\sqrt 2<0$ et $ \dfrac{V}{v}> 0$.
On déduit donc $X=(1+\sqrt2) $, ce qui donne $V=(1+\sqrt 2) v$.
La distance parcourue est $50(1+\sqrt 2)$ cm.
Inès tend une grande corde au sol entre deux pieux séparés par 200 mètres.
Son grand frère Théodore remplace entre les deux pieux l’ancienne corde par une nouvelle corde qui est plus longue que la précédente de 4 cm.
La corde n’est donc plus tout à fait tendue et on peut la soulever en son milieu.
Parmi les animaux suivants, le(s)quel(s) peut-on faire passer sous la corde en la soulevant ?
la girafe (≈ 5 m)
l’éléphant (≈ 3,50 m)
le chimpanzé (≈ 1,30 m)
le koala (≈ 72 cm)
l’écureuil (≈ 13 cm)
la fourmi (≈ 2 mm)
Conforter (ou pas) votre intuition par un calcul justificatif.
Correction du problème n°96
La hauteur cherchée correspond à la longueur du côté d’un triangle rectangle dont l’autre côté mesure 200÷2 = 100 mètres et l’hypoténuse mesure (200 + 0,04) ÷ 2 = 100,02 mètres.
Cette hauteur est égale à $\sqrt{100,02^2-100}\approx 2 $mètres !
On peut donc faire passer le chimpanzé, le koala, l’écureuil et la fourmi.
