Enoncé du problème n°98
Lors d’un concours de beauté, des grenouilles sont notées de 0 à 20 par un jury de crapauds. Voici les notes obtenues par les 21 candidates :
Pour la renommée du concours, le président du jury décide d’augmenter la moyenne de 1 point.
Par souci de discrétion, il doit changer le moins de notes possibles et ne doit modifier ni la médiane, ni l’étendue.
Conseiller le président du jury pour le choix de ces nouvelles notes.
Correction du problème n°98
Essayons de modifier seulement deux notes. On voit très vite que l’on doit attribuer au moins 11 points à une note inférieure ou égale à la médiane, et la médiane se trouve donc changée. On ne peut donc pas ajouter 21 points en changeant uniquement deux notes.
En modifiant trois notes, plusieurs solutions sont possibles.
Voici une solution, basée sur l’égalité 21 = 6 + 6 + 9.
- Il y a 21 candidates.
- La moyenne est égale à 10.
- L’étendue est égale à 17.
- La médiane est égale à la onzième valeur ordonnée, c’est-à-dire 9.
Essayons de modifier seulement deux notes. On voit très vite que l’on doit attribuer au moins 11 points à une note inférieure ou égale à la médiane, et la médiane se trouve donc changée. On ne peut donc pas ajouter 21 points en changeant uniquement deux notes.
En modifiant trois notes, plusieurs solutions sont possibles.
Voici une solution, basée sur l’égalité 21 = 6 + 6 + 9.
- On supprime un 3 et on remplace par un 9 ;
- on supprime un 10 et on remplace par un 16 ;
- on supprime un 10 et on remplace par un 19.
Voici une autre solution, basée sur l’égalité 21 = 2 + 9 + 10.
- On supprime un 2 et on remplace par un 4 ;
- on supprime un 10 et on remplace par un 19 ;
- on supprime un 10 et on remplace par un 20.
Les caractéristiques statistiques données plus haut sont gardées.
