Problème n° 55, Paradoxe de Leviss Caroll ; le corrigé

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 55

Paradoxe de Leviss Caroll, le corrigé

Observer et expliquer ce phénomène !

On peut utiliser la figure jointe ( fichier Geogebra). En zoomant, on remarque que O,UO,U et RR ne sont pas alignés ! O(05),U(82)O(05),U(82) et R(130)R(130) OU(83)OU(83) et OU(135)OU(135) et on montre que ces deux vecteurs ne sont pas colinéairres... Si les poins Q,UQ,U et RR sont alignés, alors tanα=25=38tanα=25=38 Or 25382538 d'où la contradiction !  

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Problème n° 54, Prendre la tangente ; le corrigé

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 54

Prendre la tangente, le corrigé

ABCD est un carré de côté 1, (Q) est un quart de cercle de centre C et passant par B et D. M est un point variable du segment [AB] distinct de A et B. Par le point M on trace la tangente à (Q) qui coupe le côté [AD] en N. Le point de contact de la tangente avec (Q) est nommé T. On pose AM = xx et AN = yy avec 0<x<10<x<1 et 0<y<10<y<1. Démontrer les deux expressions de MN : {MN=x2+y2 MN=2xy{MN=x2+y2 MN=2xy En déduire que y=2+2x2y=2+2x2 En déduire la valeur de xx pour laquelle la distance MN est minimale. Quelle est alors cette distance ? En déduire la valeur de xx pour laquelle l’aire du triangle AMN est maximale. Quelle est alors cette aire ?

ABCD est un carré de côté 1, (Q) est un quart de cercle de centre C et passant par B et D. M est un point variable du segment [AB] distinct de A et B. Par le point M on trace la tangente à (Q) qui coupe le côté [AD] en N. Le point de contact de la tangente avec (Q) est nommé T. On pose AM = xx et AN = yy avec 0<x<10<x<1 et 0<y<10<y<1. Démontrer les deux expressions de MN : {MN=x2+y2 MN=2xy{MN=x2+y2 MN=2xy Dans le triangle AMN rectangle en A; on a d'après Pythagore : MN2=AM2+AN2=x2+y2MN2=AM2+AN2=x2+y2 Ainsi MN=x2+y2MN=x2+y2. En appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles CTN et CDN, on a : CN2=CT2+TN2CN2=CT2+TN2 donc TN2=CN2CT2TN2=CN2CT2 CN2=CD2+DN2CN2=CD2+DN2 donc DN2=CN2CD2DN2=CN2CD2 Mais CN=CD=1CN=CD=1 donc TN2=CN2CT2=CN2CD2=DN2TN2=CN2CT2=CN2CD2=DN2 On a donc TN=DN=DAAN=1AN=1yTN=DN=DAAN=1AN=1y On prouve de même TM=AM=1xTM=AM=1x Il s'en suit : MN=MT+TN=1x+1y=2xyMN=MT+TN=1x+1y=2xy En déduire que y=2+2x2y=2+2x2 On amontré MN2=x2+y2MN2=x2+y2 et MN2=(2xy)2MN2=(2xy)2 Donc x2+y2=(2xy)2x2+y2=4+x2+y24x4y+2xy44x4y+2xy=02xy4y=4x4y(2x4)=4x4y=4x42x4y=4x8+42x4y=4x82x4+42x4y=2+2x2x2+y2=(2xy)2x2+y2=4+x2+y24x4y+2xy44x4y+2xy=02xy4y=4x4y(2x4)=4x4y=4x42x4y=4x8+42x4y=4x82x4+42x4y=2+2x2 En déduire la valeur de xx pour laquelle la distance MN est minimale. Quelle est alors cette distance ? La distance MNMN est minimale lorsque MN2MN2 est minimale. Notons ϕ:xMN2=x2+y2=2xy=2x(2+2x2)=x2x2ϕ:xMN2=x2+y2=2xy=2x(2+2x2)=x2x2. On étudie les variations de ϕϕ sur l'intervalle [0;1][0;1]: Dérivée : ϕ(x)=1+2(x2)2=2(x2)2(x2)2=(2+x2)(2x+2)(x2)2ϕ(x)=1+2(x2)2=2(x2)2(x2)2=(2+x2)(2x+2)(x2)2 Signe de la dérivée : Sur l'intervalle [0;1][0;1], on a : x1x1 donc x1x1 puis 2+2x1+2>02+2x1+2>0 2+2x>0(x2)2>0} Donc ϕ(x) a le signe de 2+x22+2x>0(x2)2>0} Donc ϕ(x) a le signe de 2+x2 ϕ(x)=02+x2=0x=22ϕ(x)=02+x2=0x=22 ϕ(x)>02+x2>0x>22ϕ(x)>02+x2>0x>22 On déduit le tableau de variations de ϕϕ sur [0;1][0;1]: où m=ϕ(22)=2+22222=2+22m=ϕ(22)=2+22222=2+22

 

En déduire la valeur de xx pour laquelle l’aire du triangle AMN est maximale. Quelle est alors cette aire ? Première méthode : l'aire de AMN est f(x)=12xy=12x(2+2x2)=x2xx2f(x)=12xy=12x(2+2x2)=x2xx2 Sa dérivée est f(x)=(2x1)(x2)1(x2x)(x2)2=x24x+2(x2)2f(x)=(2x1)(x2)1(x2x)(x2)2=x24x+2(x2)2 Comme le dénominateur est un carré, la dérivée a le signe du trinôme x24x+2x24x+2. Δ=b24ac=164×2=8Δ=b24ac=164×2=8 x1=b+Δ2ax2=b+Δ2a=4+222=4222=2+2=22x1=b+Δ2ax2=b+Δ2a=4+222=4222=2+2=22 x24x+2x24x+2 est un trinôme du second degré qui a pour racines x1x1 et x2x2; il a donc le signe de a=1a=1 à l'extérieur des racines et celui de aa à l'intérieur. On en déduit le tableau de variations de ff sur l'intervalle [0;1] : L'aire du triangle AMN est donc maximale lorsque x=22x=22. Le maximum de l'aire est M=f(22)=(22)2(22222=4+2422+22=4322=642)2=322M=f(22)=(22)2(22222=4+2422+22=4322=642)2=322 Si on souhaite le déduire de la question précédente, Aire(AMN)=Aire(ABCD)Aire(CDNT)Aire(CBMT)=12Aire(CMN)=1CT×MN=1MNAire(AMN)=Aire(ABCD)Aire(CDNT)Aire(CBMT)=12Aire(CMN)=1CT×MN=1MN L'aire du triangle AMN est donc maximale lorsque la longueur MN est minimale, c'est-à-dire pour x=22x=22. Le maximum de l'aire est 1(2+22)=3221(2+22)=322.

 

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