Enoncé du problème n° 54
ABCD est un carré de côté 1, (Q) est un quart de cercle de centre C et passant par B et D.
M est un point variable du segment [AB] distinct de A et B. Par le point M on trace la tangente à (Q) qui coupe le côté [AD] en N. Le point de contact de la tangente avec (Q) est nommé T.
On pose AM = \(x\) et AN = \(y\) avec \(0<x <1\) et \(0<y <1\).
-
- Démontrer les deux expressions de MN :
$$\left\lbrace
\begin{array}{l}
\text{MN}= \sqrt{x^2+y^2}~\\
\text{MN}= 2-x-y
\end{array}
\right. $$
- En déduire que \(y=2+\dfrac{2}{x-2}\)
- En déduire la valeur de \(x\) pour laquelle la distance MN est minimale. Quelle est alors cette distance ?
- En déduire la valeur de \(x\) pour laquelle l’aire du triangle AMN est maximale. Quelle est alors cette aire ?