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Enoncé du problème n° 54

ABCD est un carré de côté 1, (Q) est un quart de cercle de centre C et passant par B et D.
M est un point variable du segment [AB] distinct de A et B. Par le point M on trace la tangente à (Q) qui coupe le côté [AD] en N. Le point de contact de la tangente avec (Q) est nommé T.
On pose AM = $x$ et AN = $y$ avec $0<x <1$ et $0<y <1$.

1. 1. Démontrer les deux expressions de MN : $$\left\lbrace \begin{array}{l} \text{MN}= \sqrt{x^2+y^2}~\\ \text{MN}= 2-x-y \end{array} \right.$$
   2. En déduire que $y=2+\dfrac{2}{x-2}$
2. En déduire la valeur de $x$ pour laquelle la distance MN est minimale. Quelle est alors cette distance ?
3. En déduire la valeur de $x$ pour laquelle l’aire du triangle AMN est maximale. Quelle est alors cette aire ?