Maths ...

Problème n ° 92

Histoire de joueurs, le corrigé

• Enoncé du problème n° 92

  Un jeu, quatre joueurs et 1 table. A chaque partie le perdant paie à chacun des trois gagnants le montant exact que chacun a sur lui.
  Quatre parties jouées, chaque joueur perdant une partie.
  A la fin ils ont chacun la même somme de 40 € .
  Avec quelle somme chaque joueur a-t-il commencé la partie ?

• Correction du problème n°92

  Notons $X, Y, Z$ et $T$ les quatre joueurs et $x, y, z$ et $t$ leurs avoirs en début de partie. L'argent étant échangé entre les joueurs on peut affirmer que $$x + y + z + t = 160.$$ Supposons que $X, Y, Z, T$ perdent dans cet ordre.
  Alors après avoir perdu, $X$ possède $x-y -z -t$ puis il gagne trois fois donc en fin de jeu $X$ possède $8(x-y-z-t) = 40$ à savoir $$x - y - z - t = 5$$ Passons à $Y$ (ici un logiciel de calcul formel est pratique !) : à l'issue de la première partie (qu'il gagne) il possède $2y$, à l'issue de la deuxième (qu'il perd) il possède $3y - x - z - t$ et à la fin du jeu il possède $4(3y - x - z - t) = 40$ à savoir $$3y - x - z - t = 10$$ Pour $Z$ : à l'issue de la deuxième partie il possède $4z$ puis il perd il lui reste donc $-x - y + 7z - t$ et à la fin de la partie il possède $-2x - 2y + 14z - 2t = 40$ à savoir $$-x - y + 7z - t = 20 .$$ on a donc à résoudre le système : $(S)\left\lbrace \begin{array}{lcccl} x& + y &+ z &+ t &= 160\\ x &- y &- z &- t &= 5\\ -x& +3y &- z&- t &= 10\\ -x& - y &+ 7z &- t &= 20 \end{array}\right.$
  On peut ici aussi utiliser un logiciel de calcul formel ou alors en combinant la première équation avec la deuxième on obtient $2x = 165 $ ,soit $ x = 82, 5$ .
  Avec la troisième et la deuxième on obtient $4y = 170 $, soit $y = 42, 5$.
  Avec la quatrième et la troisième on obtient $8z = 180$ ,soit $z = 22, 5$ et on termine par $t= 12,5.$

  $ x = 82, 5;y = 42,5 ;z = 22, 5$ et $t= 12,5.$

Luc Giraud

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Problème n ° 92

Histoire de joueurs

Luc Giraud

Maths ...

Problème n ° 91

Une histoire de course, le corrigé

• Enoncé du problème n° 91

  Enoncé du problème n° 91

  Alexandre, Bertrand, Claude, Dominique, Étienne et Francis sont les six concurrents classés en tête d'une même course. A la fin de celle-ci chacun fait une déclaration.

  • Alexandre : « Dominique est arrivé après Étienne ».
  • Bertrand : « Alexandre est arrivé après Étienne ».
  • Claude : « Francis est arrivé après Étienne ».
  • Dominique : « Bertrand est arrivé avant moi «.
  • Étienne : « Claude est arrivé après Francis ».
  • Francis : « Je suis arrivé troisième ».

  Ceux qui sont arrivés après Étienne ont tous menti, les autres ont dit la vérité.
  Pouvez-vous retrouver le classement de la course ?

• Correction du problème n°91

  On nomme les personnages par la première lettre de leur prénom et pour indiquer que l'un est arrivé après l'autre on utilisera le symbole d'inégalité .\\ Ceux qui sont arrivés après Étienne ont tous menti, les autres ont dit la vérité, donc Étienne dit vrai on en déduit que C est arrivé après F (C>F).
  Supposons que C dise vrai on aurait F>E et comme C>F on aurait C>E et donc C mentirait, il y a contradiction on en déduit que C ment et donc que F est arrivé avant E (E>F).
  De ce fait F dit vrai donc il est troisième (F=3) ce qui implique que E> 4.
  On ne peut pas avoir E=6 puisque C>E donc E=4 ou E=5. Si on avait E=5 alors seul C mentirait et donc A dirait la vérité ce qui n'est pas possible. Donc E=4 et A ment d'où E>D. On a trouvé deux menteurs A et C qui occupent les places 5 ou 6.
  D dit donc vrai (B>D) mais comme les places 3 et 4 sont occupées par F et E, on a donc D=2 et B=1.
  

  Il y a donc deux classements possibles du premier au sixième : B, D, F, E, A, C ou B, D, F, E, C, A

Luc Giraud