Problème n°1 : Des petits carrés ... !
Enoncé du problème n ° 1
Dans un carré de côté $c=2017$ les carrés de côté 1 sur les diagonales sont coloriés (la figure montre la situation avec $c=9$).
Combien mesure la surface restée blanche ?
Problème n°1 : Des petits carrés ... ! Le corrigé
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Enoncé du problème n° 1
Dans un carré de côté $c=2017$ les carrés de côté 1 sur les diagonales sont coloriés (la figure montre la situation avec $c=9$).
Combien mesure la surface restée blanche ?
Auteur : Luc GIRAUD
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Correction du problème n° 1
Dans un carré de côté $c=2017$ les carrés de côté 1 sur les diagonales sont coloriés (la figure montre la situation avec $c=9$).
Combien mesure la surface restée blanche ?
Auteur : Luc GIRAUD
- Dans un carré de côté $2017$, il y a $2017^2$ petits carrés de côté 1.
- Il faut donc enlever les carrés oranges des deux diagonales. Il y en a : $2017+2016$.
- Il y a donc : $2017^2-(2017+2016)$ petits carrés blancs.
On peut alors remarquer que : $$\begin{array}{rl} 2017^2-(2017+2016)&= 2017^2-(2017+2017-1) \\ & =2017-2\times 2017+1\\ &=(2017-1)^2\\ &=2016^2 \end{array}$$ On a utilisé le produit remarquable : $$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$ Une autre piste ?
Analysez la figure ci-dessous :
Il y a donc $4 064 256$ petits carrés blancs dans un carré de côté 2017 !
Problème n° 101, partie de billard; le corrigé
Maths ...
Problèmes de l'année 2019-2020
Problème n ° 101
La partie de billard, le corrigé
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Enoncé du problème n° 101
Sur un billard de dimensions 2 et 6 (en mètres), on lance du milieu du grand côté, une boule qui fait au départ un angle de 45$^{\circ}$ avec le grand côté. Au cinquante neuvième rebond, à quelle distance en mètres, est-elle de son point de départ ?
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Correction du problème n°101
Faire un dessin. On se rend compte que l'on se retrouve au point de départ tous les huit coups.
Comme $59 = 56 + 3 = 7\times 8 + 3$, au 59 ème coup la boule est au même endroit qu'au troisième coup. Elle est à deux mètres du point de départ.
