Auteur : Luc GIRAUD

• On écrit tout d'abord : $$\begin{array}{|rl} 9+4\sqrt 2 &= 1+4\sqrt 2+8\\ &=1^2+2\times 1\times 2\sqrt 2+ \left( 2\sqrt 2\right) ^2\\ &=\left( 1+2\sqrt 2\right) ^2 \end{array} $$
• Ainsi :$$\begin{array}{|llr} \sqrt { 9+4\sqrt 2} &=\sqrt{\left( 1+2\sqrt 2\right) ^2}&\\ &= 2\sqrt 2 +1 &\text { car } 1+2\sqrt 2 > 0\\ \end{array} $$
• Alors $$\begin{array}{|llr} \sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}} &=\sqrt{2+1+2\sqrt 2}&\\ &= \sqrt{\sqrt 2 ^2 +2\times \sqrt 2\times 1 +1^2}&\\ &= \sqrt{\left( \sqrt 2 +1\right) ^2} &\\ &= \sqrt 2 +1 &\text { car } \sqrt 2 +1 > 0 \end{array} $$
• Puis $$\begin{array}{|llr} A= \sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}-\sqrt{18} &= \sqrt{13+30 \left( \sqrt 2 +1 \right)} -\sqrt{18}&\\ &= \sqrt{13+30 \sqrt 2 +30} -\sqrt{9\times 2 }&\\ &=\sqrt{43 +30\sqrt 2}-3\sqrt 2 & &\\ & & \end{array} $$
• On met alors $43 +30\sqrt 2$ sous la forme $\left( a+b\sqrt 2\right) ^2$
• On a $$\left( a+b\sqrt 2\right) ^2=a^2+2ab\sqrt 2+2b^2$$ Ainsi en identifiant on écrit $$\left\lbrace \begin{array}{lll} a^2+2b^2&=&43~\\ ~2ab &=&30\\ \end{array} \right. $$
• On obtient $a=5$ et $b=3$.
• Enfin : $$\begin{array}{|llr} A= \sqrt{43+30\sqrt 2}-3\sqrt{2} &= \sqrt{ \left( 5+3\sqrt 2\right) ^2}-3\sqrt{2} &\\ &= 5+3\sqrt 2 -3\sqrt{ 2 }&\text{ car } 5+3 \sqrt 2 > 0\\ &=5& \end{array} $$

Ainsi $A$ est un entier! $A=5$.

Auteur : Luc GIRAUD

• 3 frères viennent de cueillir en commun 24 pommes.
• Chacun ayant exactement le même nombre de pommes que l'age qu'ils avaient il y a 3 ans.
• Le plus jeune proposa un échange: "Je garde la moitié de mes pommes et je partage le reste équitablement entre vous deux, mais le cadet puis l'ainé devront faire de même".
• Il furent d'accord, et après l'échange eurent le même nombre de pommes chacun.
• Quel age ont les 3 frères?

   

Auteur : Luc GIRAUD

• Méthode 1 :
  Je pars de la fin, ils ont 8 pommes chacun, l'ainé double son nombre de pommes, il en a 16 et les autres en ont 4 et 4, puis le cadet double son nombre de pommes, il en a 8 et les autres en ont 14 et 2. Enfin le plus jeune double son nombre de pommes, il en a 4 et les autres en ont 13 et 7. Les frères ont 16, 10 et 7 ans.
• Méthode 2 :
  le nombre de pommes de chaque frère $$x < y < z$$ on sait que l'age de chacun est différent des autres.
  $x$ : nombre de pommes pour le plus jeune
  $ y$ : nombre de pommes pour le cadet
  $z$ : nombre de pommes pour l'ainé $$x + y + z = 24$$ Le plus jeune "partage le reste équitablement " ceci signifie que le cadet et l'ainé vont recevoir la même chose $\dfrac{x}{4}$ donc $x$ a la forme $4k$ (multiple de 4).
  Les valeurs possibles de $x$ : 4,8,12,16,20,24.
  parce que $x$ est le plus jeune la seule valeur possible reste 4 (si c'est 8 les trois peuvent avoir l'age de 8 .... impossible)
  donc $x = 4$ ! et $4 < y < z$
  $y+ z = 20 $!
  le cadet et l'ainé vont recevoir 1 ( $\dfrac{x}{4}= \dfrac{4}{4}=1$ ce que fait 1)
  le cadet aussi doit partager équitablement $(y + 1)/4$ 1 c'est ce que il a reçu.
  les valeurs possibles pour $y + 1 $: 4,8,12,16,20,24
  $ y$ : 3,7,11,15,19,23
  mais : $y$ est le cadet $y > 4$ et $y+z = 20$ et $y < z$
  donc $y = 7$ et $z = 13$
  Les frères ont 16, 10 et 7 ans

Auteur : Luc GIRAUD