Enoncé du problème n° 6

Correction du problème n° 6

• Commençons donc avec un groupe de 36 personnes !
  • Dans une classe où se trouvent 36 personnes:
  • La première personne rentre dans la salle et s'installe...
  • Arrive la deuxième personne qui serre la main à la première.
  • Arrive la troisème qui fait 2 poignée de mains.
  • La quatrième , elle fera 3 poignées de mains ...
  • Ainsi de suite jusqu'à la trente sizième personne qui elle fera 35 poignées de mains.
  • En tout il y aura donc $1+2+3+4+\cdots 35$ poignées de mains.
  • $$\begin{array}{cccccccccccc} S& =&1&+&2&+&3&+&\cdots&+&35 \\ S& =&35&+&34&+&33&+&\cdots&+&1\\\hline 2S& =&36&+&36&+&36&+&\cdots&+&36\\ \end{array} $$ Ainsi $2S=\underbrace{36+36+36+\cdots+36}_{\text{ 35 termes}}= 35\times 36$
  • Dans une classe de 36 personnes, il y aura donc $\dfrac{35\times 36}{2}= 630$ poignées de mains.
• Avec un groupe de 112 personnes, on recommence !
  • Dans une pièce où se trouvent 112 personnes:
  • La première personne rentre dans la salle et s'installe...
  • Arrive la deuxième personne qui serre la main à la première.
  • Arrive la troisème qui fait 2 poignée de mains.
  • La quatrième , elle fera 3 poignées de mains ...
  • Ainsi de suite jusqu'à la cent douzième personne qui elle fera 111 poignées de mains.
  • En tout il y aura donc $1+2+3+4+\cdots 111$ poignées de mains.
  • $$\begin{array}{cccccccccccc} S& =&1&+&2&+&3&+&\cdots&+&111 \\ S& =&111&+&110&+&109&+&\cdots&+&1\\\hline 2S& =&112&+&112&+&112&+&\cdots&+&112\\ \end{array} $$ Ainsi $2S=\underbrace{112+112+112+\cdots+112}_{\text{ 111 termes}}= 111\times 112$
  • Dans un groupe de 112 personnes, il y aura donc $\dfrac{111\times 112}{2}= 6216$ poignées de mains.
• Même question pour un groupe de 3 500 personnes :
  • En tout il y aura donc $1+2+3+4+\cdots 3499$ poignées de mains.
  • $$\begin{array}{cccccccccccc} S& =&1&+&2&+&3&+&\cdots&+&3499 \\ S& =&3499&+&3498&+&3497&+&\cdots&+&1\\\hline 2S& =& 3500&+& 3500&+& 3500&+&\cdots&+&3500\\ \end{array} $$ Ainsi $2S=\underbrace{3500+3500+3500+\cdots+3500}_{\text{ 3499 termes}}= 3499\times 3500$
  • Dans un groupe de 3500 personnes, il y aura donc $\dfrac{3499\times 3500}{2}= 6123250$ poignées de mains.
  • Même question pour un groupe de $n$ personnes : En tout il y aura donc $1+2+3+4+\cdots+(n-2)+ (n-1)$ poignées de mains.
  • $$\begin{array}{cccccccccccc} S& =&1&+&2&+&3&+&\cdots&+&(n-1) \\ S& =&(n-1)&+&(n-2)&+&(n-3)&+&\cdots&+&1\\\hline 2S& =& n&+& n&+& n&+&\cdots&+&n\\ \end{array} $$ Ainsi $2S=\underbrace{(n+n+n+\cdots+n}_{\text{ $(n-1)$ termes}}= (n-1)\times n$
  • Dans un groupe de $n$ personnes, il y aura donc $\dfrac{n\times (n-1)}{2}$ poignées de mains.
  • Dans une assemblée de $n$ personnes, il y a $\dfrac{n(n-1)}{2}$ poignées de mains possibles.