Si les quatre premiers termes d'une suite arithmétique sont : p, 9, 3p - q et 3p + q, quel est le terme qui occupe la 2018ème place dans la suite ?
Correction de l'énigme n° 4 (Lycée 2)
On note $U_1,u_2,u_3$ et $u_4$ les 4 termes consécutifs de cette suite arithmétique.
En notant $r$ la raison de cette suite, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{l} u_1=p\\ u_2=9\\ u_3=3p-q\\ u_4=3p+q \end{array} \right. $$ Comme $u_2-u_1=u_3-u_2$ $9-p=3p-q-9$ soit encore $4p-q=18$. Par ailleurs $u_4-u_3=u_3-u_2$ $ 3p+q-(3p-q)=3p-q-9$ donc $3p-3q=9$, ou encore $p-q=3$. On résout alors le système : $$\left\lbrace \begin{array}{l} 4p-q=18\\ p-q=3 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l} 4p-q=18\\ -p+q=-3 \end{array} \right.\iff \left\lbrace \begin{array}{l} 3p=15\\ q=p-3 \end{array} \right.\iff \left\lbrace \begin{array}{l} p=5\\ q=2 \end{array} \right.$$ Les quatre termes conséctifs sont alors : 5;9;13;17. Ils sont bien en progression arithmétique de raison 4. Comme $\left( u_n\right) $ est arithmétique, on a : $$u_n=u_1+(n-1)r$$ On cacule alors $u_{2018}=u_1+2017r= 5+2017\times 4= 8073$
Conclusion : le terme qui occupe la 2018ème place dans la suite est 8073.
Si l'on choisit un point P dans un plan, muni d'un repère orthonormé, contenu dans un rectangle dont les sommets sont les points de coordonnées (0,0), (2,0), (2,1) et (0,1). Quelle est la probabilité que P soit plus proche de l'origine que du point de coordonnées (3,1) ?
Correction de l'énigme n° 5 (Lycée 2)
Une première approche ?
On peut par exemple utiliser une démarche algorithmique :
Une éxécution de ce script fournit :
Ma valeur expérimentale de la probabilite de U est 0.7523
Théorème Soient $A$ et $B$ deux points distincts,$\Delta$ la médiatrice de $[AB]$, $\mathcal{P}_A$,(resp. $\mathcal{P}_B$)le demi-plan ouvert de frontière $\Delta$ contenant $A$ (resp. $B$). Alors $$M\in \Delta \Rightarrow MA=MB.$$ $$M\in \mathcal{P}_A \Rightarrow MA<MB.$$ $$M\in \mathcal{P}_B \Rightarrow MA>MB.$$
On peut illustrer cette propriété de la façon suivante :Cocher activer la trace
Preuve: Notons $s$ la réflexion d'axe $\Delta$, on a donc $s(A)=B$. Si $M\in \Delta$ alors $MA=s(M)s(A)=MB$ puisque la réflexion $s$ conserve les distances. Si $M\in \mathcal{P}_A$ notons $N$ l'intersection du segment $[BM]$ et de $\Delta$ (elle existe car $M$ et $B$ n’appartiennent pas au même demi-plan de frontière $\Delta$.) Comme $N\notin [MA]$ et $N\in \Delta$ ,on peut écrire $MA < MN+ NA = MN+NB= MB$ (cf.Figure ci-dessous). Si $M\in \mathcal{P}_B$ on raisonne de la même façon.
On peut commencer par signaler un théorème permettent un régionnement du plan: On met alors en place le modèle:
On choisit un point M au hasard, à l'intérieur du rectagle ABCD.
On note U l'événement :" Le point M est plus proche de A (0,0) que du point E(3,1)."
On trace la médiatrice $\Delta$ du segment [AE]
$\Delta$ coupe [AB] et [CD] respectivement en H et G.
$$\begin{array}{rl} M\in U &\iff MA< ME \\ & \iff M\in \mathcal{P}_A \text{ et } M\in V \\ &\iff M\text{ est à l'intérieur de } AHGD \end{array}$$
On a $p(U)=\dfrac{\text{ Aire}(U)}{\text{ Aire}(ABCD)}$
Déterminons une équation de $\Delta$: $$\begin{array}{rl} M \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} \in \Delta &\iff MA= ME \\ & \iff MA^2 = ME^2 \\ &\iff (x-0)^2+(y-0)^2= (x-3)^2+(y-1)^2\\ &\iff x^2+y^2=x^2-6x+9+y^2-2y+1\\ &\iff -6x-2y+10=0\\ &\iff y=5-3x\\ \end{array}$$ $$\begin{array}{rl} H \begin{pmatrix} x\\ 0\\ \end{pmatrix} \in \Delta &\iff 0= 5-3x\\ &\iff x = \frac{5}{3}\\ \end{array}$$ Ainsi $H \begin{pmatrix} \frac{5}{3}\\ 0\\ \end{pmatrix}$ $$\begin{array}{rl} G \begin{pmatrix} x\\ 1\\ \end{pmatrix} \in \Delta &\iff 1= 5-3x\\ &\iff x = \frac{4}{3}\\ \end{array}$$ Ainsi $G \begin{pmatrix} \frac{4}{3}\\ 0\\ \end{pmatrix}$
L'aire du trapèze AHGD vaut $$\begin{array}{rl} \mathcal{A}&= \dfrac{\left( \text{Grande Base + Petite Base}\right) \times \text{Hauteur}}{2} \\ & \dfrac{(AH+DG)\times AD}{2}\\ &= \dfrac{\left( \frac{5}{3}+\frac{4}{3}\right )\times 1}{2}\\ &= \frac{3}{2} \end{array}$$
Ainsi $p(U)=\dfrac{\text{ Aire}(U)}{\text{ Aire}(ABCD)}= \dfrac{ \frac{3}{2} }{2}= \frac{3}{4}$
Conclusion : la probabilité que P soit plus proche de l'origine que du point de coordonnées (3,1) vaut $\frac{3}{4}$
Un carré est découpé en 25 carrés plus petits parmi lesquels 24 sont des carrés de côté 1 cm. Déterminer les valeurs possibles de l'aire du carré d'origine.
Si $M\in \mathcal{P}_B$ on raisonne de la même façon.
On peut commencer par signaler un théorème permettent un régionnement du plan: 
