Semaine des Maths 20017-2018 ; le jeudi 15 mars, correction de l'énigme 4 ( Lycée 2)

Enoncé de l'énigme n° 4 (Lycée 2)

Si les quatre premiers termes d'une suite arithmétique sont : p, 9, 3p - q et 3p + q, quel est le terme qui occupe la 2018^ème place dans la suite ?

Correction de l'énigme n° 4 (Lycée 2)

• On note $U_1,u_2,u_3$ et $u_4$ les 4 termes consécutifs de cette suite arithmétique.
• En notant $r$ la raison de cette suite, on a :
• $$\left\lbrace \begin{array}{l} u_1=p\\ u_2=9\\ u_3=3p-q\\ u_4=3p+q \end{array} \right. $$ Comme $u_2-u_1=u_3-u_2$
  $9-p=3p-q-9$ soit encore $4p-q=18$.
  Par ailleurs $u_4-u_3=u_3-u_2$
  $ 3p+q-(3p-q)=3p-q-9$ donc $3p-3q=9$, ou encore $p-q=3$.
  On résout alors le système : $$\left\lbrace \begin{array}{l} 4p-q=18\\ p-q=3 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l} 4p-q=18\\ -p+q=-3 \end{array} \right.\iff \left\lbrace \begin{array}{l} 3p=15\\ q=p-3 \end{array} \right.\iff \left\lbrace \begin{array}{l} p=5\\ q=2 \end{array} \right.$$ Les quatre termes conséctifs sont alors : 5;9;13;17. Ils sont bien en progression arithmétique de raison 4.
  Comme $\left( u_n\right) $ est arithmétique, on a : $$u_n=u_1+(n-1)r$$ On cacule alors $u_{2018}=u_1+2017r= 5+2017\times 4= 8073$

Auteur : Luc Giraud