Semaine des Maths 20017-2018 ; le jeudi 14 mars, correction de l'énigme 4 ( Lycée 1)

Enoncé de l'énigme n° 4 (Lycée 1)

Un examen est composé de 24 questions.
Le barème est le suivant :

• 0 s'il n'y a pas de réponse,
• 1 point si la réponse est juste
• et -0,25 point si la réponse est incorrecte.

Un étudiant a obtenu 13 points. Quel est le maximum de réponses justes qu'il a pu donner ?

Correction de l'énigme n° 4 (Lycée 1)

Dans les conditions de l'énoncé, pour obtenir 13 points, l'étudiant a au moins donné 13 bonnes réponses.
On note $x$ le nombre de bonnes réponses de l'étudiant.
$y$ le nombre de réponses fausses.
On cherche le maximum de $x$ sachant que l'on a les contraintes : $$13\leq x\leq 24$$ $$0\leq y\leq 24$$ $$x-\frac{1}{4}y=13$$ On cherche donc un point à coordonnées entières sur la droite $\Delta$ d'équation $x-\frac{1}{4}y=13$, appartenant au carré défini par les inégalités $\left\lbrace \begin{array}{l} 0\leq x \leq 24\\ 0\leq y \leq 24 \end{array} \right.$
On peut représenter la situation de la façon suivante :

Parmi les 7 points obtenus, on prend en compte que les 3 premiers : $(13;0);(14;4);(15;8)$.
En effet le nombre de questions est 24; donc $x+y\leq 24$.

Auteur : Luc GIRAUD