Semaine des Maths 20017-2018 ; le mercredi 13 mars, correction de l'énigme 3 ( Lycée 1)

Enoncé de l'énigme n° 3 (Lycée 1)

La grande base d'un trapèze a pour longueur 15 cm et le segment joignant les milieux de ses diagonales mesure 3 cm.
Quelle est la longueur de la petite base de ce trapèze ?

Correction de l'énigme n° 3 (Lycée 1)

Appelons $ABCD$ le trapèze, $[DC]$ est sa grande base et $[AB]$ est donc sa petite base.
Appelons aussi $I$ le milieu de la diagonale $[AC]$, $J$ celui de la diagonale $[BD]$ et $K$ l'intersection de $[AC]$ et $[BD]$.
Montrons que le segment $[IJ]$ est parallèle à $(DC)$ ( et donc à $(AB)$)
Considérons la droite perpendiculaire à $(DC)$ et $(AB)$ et passant par le point $I$ . Cette droite coupe $(AB)$ en $I_1$ et $(CD)$ en $I_2$

On montre en utilisant le théorème de Thalès(figure 2) que $\frac{II_1}{II_2}=\frac{IA}{IC}= 1$
(on rappelle que I est le milieu de $[AC]$) le point $I$ est donc le milieu de $I_1I_2$ et est à égale distance des droites $(AB)$ et $(CD)$
On montre de même que $J$ est à égale distance des droites $(AB)$ et $(CD)$.
On en déduit alors que la droite $(IJ)$ est parallèle à $(DC)$ ( et donc à $(AB)$
On applique maintenant le théorème de Thalès dans les triangles $KDC$ et $KIJ$ ($(IJ)//(DC)$)
On trouve $\frac{IJ}{DC} =\frac{KI}{KD}$ donc $\frac{KI}{KD}=\frac{1}{5}$
On en déduit que $KI$ est quatre fois plus grand que $ID$ et comme $ID=IB$
on en déduit aussi que $NB$ est trois fois plus grand que $NB$
Si on applique maintenant le théorème de Thalès dans les triangles $KIJ$ et $KAB$, on trouve $\frac{IJ}{AB} = \frac{KI}{KD}$
soit $\frac{3}{AB}= \frac{1}{3}$ et donc $AB= 9$

Auteur : Alexandre GROLLIER