Problème n°39 L'étudiant pressé, le corrigé
Maths ...
Problèmes de l'année 2018-2019
Problème n ° 39
L'étudiant pressé, le corrigé
Un étudiant se rend tous les jours à la fac en vélo. Il fait le trajet à 20 km/h de moyenne. À quelle vitesse doit-il aller au retour pour que sa vitesse moyenne sur l’aller-retour soit de 40 km/h?
Illustrons le problème : Si on nomme : \(d\) la distance séparant la maison de la faculté, \(v_1\) la vitesse durant le trajet Maison \(\rightarrow\) Faculté \(t_1\) le temps pour faire le trajet Maison \(\rightarrow\) Faculté \(v_2\) la vitesse durant le trajet Faculté\(\rightarrow\) Maison \(t_2\) le temps pour faire le trajet Faculté\(\rightarrow\) Maison \(v_{\text{Moyen}}\) la vitesse moyenne durant le trajet Maison \(\rightarrow\)Faculté\(\rightarrow\) Maison On a \(v_1 =20\) On veut que \(v_{\text{Moyen}}=40\) On a \(v_1=\dfrac{d}{t_1}\) , \(v_2=\dfrac{d}{t_2}\) et \(v_{\text{Moyen}}=\dfrac{2d}{t_1+t_2}\) Comme \(v_1=\dfrac{d}{t_1}\), on déduit \(t_1=\dfrac{d}{v_1}\) ; de même \(t_2=\dfrac{d}{v_2}\) $$v_{\text{Moyen}}=\dfrac{2d}{t_1+t_2}= \dfrac{2d}{\dfrac{d}{v_1}+\dfrac{d}{v_2}}= \dfrac{2}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}}$$ On déduit donc $$\dfrac{v_{\text{Moyen}}}{2}= \dfrac{1}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}}$$ Soit en prenant les inverses : $$\dfrac{2}{v_{\text{Moyen}}}= \dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}$$ Si on reprend les données du problème, on obtient : $$\dfrac{2}{40}= \dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{v_2} \iff \dfrac{1}{v_2}= 0$$ Ce qui n'est pas possible !
