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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 43

Les pillules

Ennoncé du problème n° 43 Yves s’est fait prescrire un traitement particulier par son homéopathe préféré. Il doit prendre exactement une pilule A et une pilule B tous les jours pendant trente jours. Un jour, il met une pilule A dans sa main et maladroitement deux pilules B dans la même main. Les pilules sont indiscernables, il ne sait donc pas ni quelle est la pilule A ni quelles sont les pilules B. Il ne disposait au départ tout juste que de trente pilules A et trente pilules B, il ne peut donc pas se permettre de jeter les trois pilules. Comment Yves peut-il faire pour suivre son traitement sans perdre de pilule ? Il est possible de diviser les pilules en plusieurs morceaux.

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 42

Un sangaku ?

Enoncé du problème n° 42 Il était d’usage dans le Japon antique d’offrir aux dieux amateurs de Mathématiques des problèmes de géométrie gravés sur des tablettes. C’était l’art du "sangaku". Sur l’une des tablettes retrouvées, quelques coups de pinceau retraçaient l’énigme : le triangle est rectangle ;
  ses deux côtés de l’angle droit mesurent respectivement 8 et 15. Retrouvez les rayons des deux cerles

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 41

Combien de 1 ? Le corrigé

Soit \(n = 9 + 99 + 999 +\cdots + 99 \cdots 9\), où le dernier nombre ajouté est constitué de 999 chiffres 9. Combien de fois le chiffre 1 apparaît-il dans \(n \)?

Soit la somme : \(n=9+99+999+9999+...+9999...999 \) Le dernier nombre de cette somme contenant 999 chiffres 9. Cette somme comporte donc 999 termes et elle peut s’écrire : \(n=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+.....+(10^{99}-1) \)En changeant l’ordre des termes , on peut écrire : \(n=10+100+1000+10000+...+10^{99}-999 \) Soit encore : \(n=11111...10-999 \) où le premier nombre de cette différence est constitué de 999 chiffres 1 et d’un chiffre 0. On peut écrire \(n \) sous la forme : \(n=111111...1110000+1110-999 \)où le premier nombre de cette somme comporte 996 chiffres 1 et 4 chiffres 0.Or \(1110-999=111 \) Donc \(n \) peut s’écrire : \(n=111111...110111 \) Ainsi \(n \) est constitué de 996 chiffres 1, d’un chiffre 0, puis de 3 chiffres 1. L’écriture de \(n \) comporte 999 chiffres 1.