Enoncé du problème n° 44 Des vélos dans une petite villes des Pays-Bas. Dans cette petite ville des Pays-Bas, le recensement fait apparaître 2000 familles et 5495 vélos.Il n’y a aussi que trois catégories de familles, celles qui possèdent 2 vélos, celles qui possèdent 3 vélos et celles qui en possèdent 4.On remarque aussi que deux de ces catégories comptent le même nombre de familles. Combien de familles possèdent trois vélos ?
Yves s’est fait prescrire un traitement particulier par son homéopathe préféré. Il doit prendre exactement une pilule A et une pilule B tous les jours pendant trente jours. Un jour, il met une pilule A dans sa main et maladroitement deux pilules B dans la même main. Les pilules sont indiscernables, il ne sait donc pas ni quelle est la pilule A ni quelles sont les pilules B. Il ne disposait au départ tout juste que de trente pilules A et trente pilules B, il ne peut donc pas se permettre de jeter les trois pilules. Comment Yves peut-il faire pour suivre son traitement sans perdre de pilule ? Il est possible de diviser les pilules en plusieurs morceaux.
Yves sort une pilule A de sa boîte, la coupe en deux et en avale une moitié. Il fait ensuite de même avec les trois pilules qu’il a en main. Le lendemain il avale les quatre moitiés restantes.
Il était d’usage dans le japon antique d’offrir aux dieux amateurs de Mathématiques des problèmes de géométrie gravés sur des tablettes. C’était l’art du "sangaku". Sur l’une des tablettes retrouvées, quelques coups de pinceau retraçaient l’énigme : le triangle est rectangle ; ses deux côtés de l’angle droit mesurent respectivement 8 et 15. Retrouver les rayons des deux cercles.
- Rayon du cercle circonscritEn appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle, on détermine que son hypoténuse mesure 17.Le centre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse. On conclut donc que le rayon du grand cercle mesure \(\dfrac{15\times 8}{2}=60\) - Rayon du cercle inscritL'aire du triangle rectangle est égale à \(\dfrac{15\times 8}{2}=60\) On peut découper le triangle rectangle en trois triangles ayant pour sommet commun le centre du cercle inscrit.Si on appelle \(r\)le rayon du cercle inscrit, on peut exprimer en fonction de \(r\) les aires des trois triangles formant le découpage : \(\dfrac{15r}{2}\), \(\dfrac{8r}{2}\) et \(\dfrac{17r}{2}\). En effet : $$\begin{array}{rlr} S_{\text{ABC}}& =S_{\text{DAB}}+S_{\text{DBC}}+S_{\text{DCA}}&\\ & =\frac{1}{2}AB\times DE+\frac{1}{2}BC\times DF +\frac{1}{2}CA\times DF &\\ &=\frac{r}{2}AB +\frac{r}{2}BC+\frac{r}{2}CA& \textbf{car } DE=DF=DG=r\\ &= \frac{15}{2}r+\frac{8}{2}r+\frac{17}{2}r \end{array}$$ On a ainsi l'équation : $$\dfrac{15r}{2}+\dfrac{8r}{2}+\dfrac{17r}{2}=60$$ Après résolution de cette équation, on conclut donc que le rayon du petit cercle mesure \(3\).
