Maths ...
Problèmes de l'année 2018-2019
Problème n ° 41
Combien de 1 ?
Ennoncé du problème n° 41 Soit \(n = 9 + 99 + 999 +\cdots + 99 \cdots 9\), où le dernier nombre ajouté est constitué de 999 chiffres 9. Combien de fois le chiffre 1 apparaît-il dans \(n \) ?
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Problèmes de l'année 2018-2019
Problème n ° 40
Une équation? Le corrigé
Combien existe-t-il de nombres réels \(x\) tels que : \((x^2-7x+11)^{x^2-3x+2}=1 \; \) ?
L’égalité \((x^2-7x+11)^{x^2-3x+2}=1 \)ne peut être obtenue que dans les 3 cas suivants. 1er cas. \(x^2-3x+2=0 \). C’est-à-dire \((x-1)(x-2)=0 \) Soit \(x=1\) , avec \(x^2-7x+11=1-7+11=5\) et on a bien \(5^0=1\) Soit \(x=2\) , avec \(x^2-7x+11=4-14+11=1\) et on a bien \(1^0=1\) 2ème cas. \(x^2-7x+11= 1\) C’est-à-dire \(x^2-7x+10= 0\) C’est-à-dire \((x-2)(x-5)=0 \) Soit \(x=2\) , avec \(x^2-3x+2=4-6+2=0\) et on a bien \(2^0=1\) Soit \(x=5\) , avec \(x^2-3x+2=25-15+2=12\) et on a bien \(12^0=1\) 3ème cas. \(x^2-7x+11= -1\) C’est-à-dire \(x^2-7x+12= 0\) C’est-à-dire \((x-3)(x-4)=0 \) Et, soit \(x=3\) , avec \(x^2-3x+2=9-9+2=2\) et on a bien \((-1)^2=1\) Soit \(x=4\) , avec \(x^2-3x+2=16-12+2=6\) et on a bien \((-1)^6=1\) Finalement, 5 nombres réels conviennent : 1, 2, 3, 4 et 5.
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Problèmes de l'année 2018-2019
Problème n ° 40
Une équation ?
Ennoncé du problème n° 40 Combien existe-t-il de nombres réels \(x\)tels que : \((x^2-7x+11)^{x^2-3x+2}=1 \; \) ?
