Problème n°45 À contre-courant ; le corrigé
Maths ...
Problèmes de l'année 2018-2019
Problème n ° 45
À contre-courant; le corrigé
Un bateau-mouche fait tous les jours le même parcours : il descend une partie de la Seine, fait demi-tour, et remonte à contre-courant jusqu’à son point de départ. Un jour, la vitesse du courant est plus élevée que d’habitude. Le bateau va-t-il mettre moins, autant ou plus de temps que d’habitude pour faire l’aller-retour ? Le bateau va mettre moins de temps à l’aller mais plus de temps au retour.
Si on note : v la vitesse constante du bateau-mouche v0 la vitesse du courant, avec bien sûr la condition v>v0. T1 le temps mis pour faire le trajet avec le courant favorable T1=dv+v0 T2 le temps mis pour faire le trajet avec le courant défavorable T2=dv−v0 TTotal=T1+T2=dv+v0+dv−v0 On pose v0=x. On étudie alors les variations de la fonction ϕ:x↦dv+x+dv−x sur l'intervalle [0;v[. Calculons sa dérivée : ϕ′(x)=−d(v+x)2−d×(−1)(v−x)2=−d(v+x)2+d(v−x)2=d((v+x)2−(v−x)2)(v−x)2(v+x)2=d(v2+x2+2vx−(v2+x2−2vx))(v−x)2(v+x)2=d(4vx)(v−x)2(v+x)2 La dérivée est clairement positive sur [0;v[. Ainsi ϕ est strictement croissante sur [0;v[. Ce qui signifie que plus la vitesse du courant est importante, plus le temps mis pour faire l'aller-retour est important.
