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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 35

L'age de Diophante

Probablement d’origine syrienne, Diophante a passé l’essentiel de sa vie à Alexandrie. Il est l’auteur de trois ouvrages de mathématiques. Le plus célèbre, consacré à la résolution de problèmes s’appelle Les Arithmétiques. 
Bien que les problèmes soient présentés de façon abstraite (« Trouver deux nombres tels que leurs somme et produit forment des nombres donnés »), leur résolution se fait numériquement sur des cas particuliers. 
Diophante utilise des techniques algébriques sans faire référence à la géométrie .
Les mathématiciens des XVIe et XVIIe siècles, tels François Viète(1540 ; 1603) et Pierre de Fermat (1601 ; 1665), le surnommeront, à juste titre, le « père de l’algèbre ».
En effet, Diophante n’hésite pas à introduire un « nombre indéterminé  », qu’il appelle l’arithme et que l’on peut assimiler aujourd’hui à l’inconnue utilisée en algèbre. Voici l’épitaphe de Diophante donnant lieu à un exercice qui propose de calculer jusqu’à quel âge vécut le savant : Passant, sous ce tombeau repose Diophante. Ces quelques vers tracés par une main savante Vont te faire connaître à quel âge il est mort. Des jours assez nombreux que lui compta le sort, Le sixième marqua le temps de son enfance ; Le douzième fut pris par son adolescence. Des sept parts de sa vie, une encore s’écoula, Puis s’étant marié, sa femme lui donna Cinq ans après un fils qui, du destin sévère Reçut de jours hélas, deux fois moins que son père. De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut. Dis, tu sais compter à quel âge il mourut. Extrait d’Eutrope publié en 369 dans "L’Abrégé de l’Histoire Romaine" traduit ici en alexandrins par Emile Fourrey (Récréations mathématiques, 1899).

Appelons \( x \) le nombre d’années vécues par Diophante Les renseignements donnés dans le texte nous permettent d’écrire l’égalité suivante : $$x=\frac{1}{6}x+\frac{1}{12}x+\frac{1}{7}x+5+\frac{1}{2}x+4$$ $$x=\frac{25}{28}x+9$$ $$\frac{3}{28}x=9$$ $$x=84$$ ap_loadscript('http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS_HTML'); Donc Diophante est mort à 84 ans.

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 35

L'age de Diophante

Ennoncé du problème n° 35 Probablement d’origine syrienne, Diophante a passé l’essentiel de sa vie à Alexandrie. Il est l’auteur de trois ouvrages de mathématiques. Le plus célèbre, consacré à la résolution de problèmes s’appelle Les Arithmétiques. 
Bien que les problèmes soient présentés de façon abstraite (« Trouver deux nombres tels que leurs somme et produit forment des nombres donnés »), leur résolution se fait numériquement sur des cas particuliers. 
Diophante utilise des techniques algébriques sans faire référence à la géométrie .
Les mathématiciens des XVIe et XVIIe siècles, tels François Viète(1540 ; 1603) et Pierre de Fermat (1601 ; 1665), le surnommeront, à juste titre, le « père de l’algèbre ».
En effet, Diophante n’hésite pas à introduire un « nombre indéterminé  », qu’il appelle l’arithme et que l’on peut assimiler aujourd’hui à l’inconnue utilisée en algèbre. Voici l’épitaphe de Diophante donnant lieu à un exercice qui propose de calculer jusqu’à quel âge vécut le savant : Passant, sous ce tombeau repose Diophante. Ces quelques vers tracés par une main savante Vont te faire connaître à quel âge il est mort. Des jours assez nombreux que lui compta le sort, Le sixième marqua le temps de son enfance ; Le douzième fut pris par son adolescence. Des sept parts de sa vie, une encore s’écoula, Puis s’étant marié, sa femme lui donna Cinq ans après un fils qui, du destin sévère Reçut de jours hélas, deux fois moins que son père. De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut. Dis, tu sais compter à quel âge il mourut. Extrait d’Eutrope publié en 369 dans "L’Abrégé de l’Histoire Romaine" traduit ici en alexandrins par Emile Fourrey (Récréations mathématiques, 1899).

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 34

L'enquête; le corrigé

Un détective interroge les suspects d’un crime. Anne dit : « J’ai vu Katie et David sur les lieux du crime, l’un d’entre eux est le coupable. » Louis dit : « Ce n’est pas moi ! » Katie dit : « C’est David, je l’ai vu tirer ! » David dit : « Je jure que c’est Louis, je l’ai vu s’enfuir. » Identifier le coupable, sachant qu’il est le seul à mentir.

Supposons qu’Anne mente. Alors les autres disent la vérité, en particulier David, donc le coupable serait Louis. Mais Louis ne ment pas, et il dit que ce n’est pas lui le coupable… nous aboutissons à une contradiction. Ce n’est donc pas Anne la coupable. Supposons que Louis mente. Cela signifierait qu’il est coupable. Mais alors, Anne, qui prétend que c’est Katie ou David, mentirait aussi : là encore, contradiction, ce n’est donc pas Louis le coupable. Supposons que Katie mente. Nous sommes ramenés au premier cas considéré, qui mène à une contradiction. Ce n’est donc pas Katie la coupable. Nous en déduisons, par élimination, que le coupable est David. Vérifions tout de même la cohérence : Si David ment, cela signifie que ce n’est pas Louis le coupable. Comme Louis affirme qu’il est innocent, Louis ne ment pas. Anne, qui dit que le coupable est soit David, soit Katie, ne ment pas non plus. Enfin, Katie, qui dit avoir vu David tirer, ne ment pas. Tout est cohérent ! Conclusion : Le coupable est David !