Enoncé de l'énigme n° 1 (Lycée 2)

Les nombres indiquent les aires des zones coloriées exprimées en cm². Combien vaut x ?

Correction de l'énigme n° 1 (Lycée 2)

• On a dans le triangle (AED) en utilisant les notations de la figure : $$\dfrac{1}{2}(a+b)d=\beta+9\quad(1)$$
• Dans le quadrilatère (BFDE): $$ \dfrac{1}{2}(a+b)c =\gamma+35+6\quad(2)$$
• On note $\mathcal{A}$ l'aire du rectangle (ABCD): $$\mathcal{A}=\text{Aire}(ABCD)= (a+b)(c+d)$$
• $$(1)+(2) \text{ fournit } \dfrac{1}{2}(a+b)d+\dfrac{1}{2}(a+b)c= \beta +9+\gamma +41$$ $$ \dfrac{1}{2}(a+b)(c+d)=\beta +\gamma +50$$ $$ \dfrac{1}{2}\mathcal{A}=\beta +\gamma +50\quad (3)$$
• Dans le triangle (AFD), on peut écrire : $$x+\beta+\gamma=\dfrac{1}{2}(a+b)(c+d)$$ $$\text{ soit }x+\beta+\gamma=\dfrac{1}{2}\mathcal{A}\quad (4) $$
• De (3) et (4), on déduit $$\beta +\gamma +50= x+\beta+\gamma$$ $$\text{ soit }x=50$$

Auteur : Lionel DARIE

Enoncé de l'énigme n° 4 (Lycée 1)

Un examen est composé de 24 questions.
Le barème est le suivant :

• 0 s'il n'y a pas de réponse,
• 1 point si la réponse est juste
• et -0,25 point si la réponse est incorrecte.

Un étudiant a obtenu 13 points. Quel est le maximum de réponses justes qu'il a pu donner ?

Correction de l'énigme n° 4 (Lycée 1)

Dans les conditions de l'énoncé, pour obtenir 13 points, l'étudiant a au moins donné 13 bonnes réponses.
On note $x$ le nombre de bonnes réponses de l'étudiant.
$y$ le nombre de réponses fausses.
On cherche le maximum de $x$ sachant que l'on a les contraintes : $$13\leq x\leq 24$$ $$0\leq y\leq 24$$ $$x-\frac{1}{4}y=13$$ On cherche donc un point à coordonnées entières sur la droite $\Delta$ d'équation $x-\frac{1}{4}y=13$, appartenant au carré défini par les inégalités $\left\lbrace \begin{array}{l} 0\leq x \leq 24\\ 0\leq y \leq 24 \end{array} \right.$
On peut représenter la situation de la façon suivante :

Parmi les 7 points obtenus, on prend en compte que les 3 premiers : $(13;0);(14;4);(15;8)$.
En effet le nombre de questions est 24; donc $x+y\leq 24$.

Auteur : Luc GIRAUD