Maths ...

Problème n ° 74

Entiers particuliers, le corrigé

• Enoncé du problème n° 74

  Les entiers 22 et 123 font partie des entiers ayant la particularité suivante: dans leur écriture dans le système décimal, la somme des chiffres est égale au produit des chiffres.
  Pouvez-vous trouver le nombre d'entiers s'écrivant avec 5 chiffres (dans le système décimal) qui possèdent aussi cette propriété ?

• Correction du problème n°74

  On peut remarquer que le chiffre 0 ne doit pas figurer dans l'écriture et que l'on peut limiter la recherche aux entiers s'écrivant $$ a10^4 + b10^3 + c10^2 + 10d + e$$ tels que les chiffres $a, b, c, d$ et $e$ vérifient $a \leq b \leq c \leq d \leq e $ (il suffira alors de permuter).
  Dans ce cas on a : $a+b+c+d+e \leq 5e $ et donc $abcde \leq 5e $ d'où (puisque 0 ne figure pas) $abcd \leq 5 $
  En construisant un arbre on s'aperçoit alors que $(a, b, c, d)$ ne peut prendre que les valeurs : $$(1,1,1,1), (1,1,1,2), (1,1,1,3), (1,1,1,4), (1,1,1,5), (1,1,2,2)$$ Reste à déterminer $e$ dans chacun des cas en éliminant le cas $(1,1,1,1)$ puisque dans ce cas le produit vaut $e$ et la somme est strictement supérieure à $e$ .
  Par exemple dans le cas (1, 1, 1, 2) il n'y a que la possibilité $e = 5$.
  Au final les entiers cherchés s'obtiennent en permutant les chiffres de 11125, 11133 et 11222.
  Il y a 20 entiers correspondant à 11125, et 10 dans chacun des deux autres cas. Soit donc au total 40 entiers.

Luc Giraud

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Problème n ° 74

Entiers particuliers

Luc Giraud

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Problème n ° 73

Echafaudage, le corrigé

• Enoncé du problème n° 73

  Deux planches : une grande (AB de trois mètres) et une petite (CD de deux mètres) sont appuyées sur deux murs.
  Elles se croisent à un mètre du sol qui est horizontal.
  Quelle distance sépare les deux murs ?

• 

  Correction du problème n°73

  Notons \(x\) la distance cherchée. On utilise d'abord le théorème
  de Thalès qui donne, puisque \(OH = 1\), dans un premier temps
  \(\dfrac{AH}{x}=\dfrac{1}{BC}\) et donc \(AH =\dfrac{x}{BC}\; (1)\) 
  
  
  Puis $$\dfrac{1}{AD}=\dfrac{HC}{x}=\dfrac{x-AH}{x}=1-\dfrac{AH}{x}$$
  on en déduit que $$AH=x-\dfrac{x}{AD}\; (2)$$
  
  De (1) et (2) on tire \(\dfrac{1}{BC}=1-\dfrac{1}{AD} \) soit \(\dfrac{1}{BC}+\dfrac{1}{AD}=1\)
  
  
  Mais comme \(BC =\sqrt{9-x^2}\) et \( AD =\sqrt{4-x^2} \) on obtient au final
  $$ \dfrac{1}{\sqrt{9-x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}=1$$
  En notant \( f \) la fonction de \( [ 0 ; 2 ]\) dans \( \mathbb R \) telle que \( x \mapsto f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{9-x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}} \)
  
  il suffit de résoudre l'équation \( f(x) = 1\).
  
  Le plus simple est d'utiliser un traceur de courbe qui permet de donner une valeur de \( x\) au centimètre près : 1, 23 m
  1, 23 m environ sépare les deux murs.

Luc Giraud