Enoncé du problème n° 21

Correction du problème n° 21

• Il s’agit de déterminer si le chien peut atteindre la porte, en tendant au maximum sa chaine.
  La situation est traduite par le schéma suivant :
  
  
• Le chien, en tirant sur sa chaine, va d’abord « tangenter » le bord du phare en $H$. $O$ étant le centre du phare et $P$ le piquet, le triangle $OPH$ est rectangle en $H$. On applique le théorème de Pythagore : $$OP^2 = OH^2 + PH^2$$ donc : $$PH^2 = OP^2 - OH^2$$ Soit : $$PH^2 = (3 + 2)^2 - 3^2 = 16.$$ Donc $PH = 4$ m.
• Ensuite, le chien va enrouler les 6 m de chaine qui lui reste autour du phare.
  Le point $A$ représente le bord de la porte et $R$ le milieu de l’ouverture de la porte.
  Appelons $\alpha$ l’angle $\hat{POH}$. On a $\cos \alpha = \dfrac{3}{5}$
  donc $\alpha \approx 53,13°$.
  Ainsi, l’angle $\hat{ROH }= 180 – 53,13 = 126,87°$.
  La longueur de l’arc $HR$ est : $$3 \times 126,87\times \dfrac{\pi}{180} \approx6,64 \text{m}.$$ On considère que l’arc $AR$ et la longueur du segment $[AR]$ sont quasiment égaux, à 0,5 m,
  donc l’arc $HA$ mesure environ $6,64 – 0,5 = 6,14$ m.
  Comme, à partir de $H$, il restait 6 m de chaine, cela signifie que le chien n’atteindra pas tout-à-fait le bord de la porte.

Enoncé du problème n°20

Correction du problème n°20

• En posant $a$ l'aire d'un petit triangle équilatéral, on a $a=\dfrac{2}{\sqrt{\sqrt 3} }$
$$LM^2= 13 a^2, MN^2=7a^2, LN^2= 19a^2$$
• L'aire de $LMN$ vaut $$S=\dfrac{1}{2} bc\sin \hat A $$ Et AlKashi donne $$\cos \hat A =\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$ $$S^2=\dfrac{1}{4} b^2c^2\sin ^2\hat A $$ $$S^2=\dfrac{1}{4} b^2c^2\left (1-\cos ^2\hat A \right )$$ $$S^2=\dfrac{1}{4} b^2c^2\left (1-\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right )^2 \right )$$ $$S^2=\dfrac{1}{16} \left( 4b^2c^2-\left (b^2+c^2-a^2\right )^2\right ) $$ AN: on trouve $$S=11$$