Camille veut faire peindre son mur. Elle connaît 3 personnes qui pourraient le faire. Hugo peut peindre un mur en 1h, Ludivine en 3h et Mathis en 6h. Étant pressée, elle embauche les trois.
Les entiers 22 et 123 font partie des entiers ayant la particularité suivante: dans leur écriture dans le système décimal, la somme des chiffres est égale au produit des chiffres. Pouvez-vous trouver le nombre d'entiers s'écrivant avec 5 chiffres (dans le système décimal) qui possèdent aussi cette propriété ?
Correction du problème n°74
On peut remarquer que le chiffre 0 ne doit pas figurer dans l'écriture et que l'on peut limiter la recherche aux entiers s'écrivant $$ a10^4 + b10^3 + c10^2 + 10d + e$$ tels que les chiffres $a, b, c, d$ et $e$ vérifient $a \leq b \leq c \leq d \leq e $ (il suffira alors de permuter). Dans ce cas on a : $a+b+c+d+e \leq 5e $ et donc $abcde \leq 5e $ d'où (puisque 0 ne figure pas) $abcd \leq 5 $ En construisant un arbre on s'aperçoit alors que $(a, b, c, d)$ ne peut prendre que les valeurs : $$(1,1,1,1), (1,1,1,2), (1,1,1,3), (1,1,1,4), (1,1,1,5), (1,1,2,2)$$ Reste à déterminer $e$ dans chacun des cas en éliminant le cas $(1,1,1,1)$ puisque dans ce cas le produit vaut $e$ et la somme est strictement supérieure à $e$ . Par exemple dans le cas (1, 1, 1, 2) il n'y a que la possibilité $e = 5$. Au final les entiers cherchés s'obtiennent en permutant les chiffres de 11125, 11133 et 11222. Il y a 20 entiers correspondant à 11125, et 10 dans chacun des deux autres cas. Soit donc au total 40 entiers.
Les entiers 22 et 123 font partie des entiers ayant la particularité suivante: dans leur écriture dans le système décimal, la somme des chiffres est égale au produit des chiffres. Pouvez-vous trouver le nombre d'entiers s'écrivant avec 5 chiffres (dans le système décimal) qui possèdent aussi cette propriété ?