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Problème n° 75, le mur de Camille

Maths ...

Problèmes de l'année 2019-2020

Problème n ° 75

Le mur de Camille

Enoncé du problème n° 75

Camille veut faire peindre son mur.
Elle connaît 3 personnes qui pourraient le faire.
Hugo peut peindre un mur en 1h, Ludivine en 3h et Mathis en 6h.
Étant pressée, elle embauche les trois.

Combien de temps vont-ils mettre à eux trois ?

Simon MARSEILLE

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Problème n° 74, Entiers particuliers ; le corrigé

Maths ...

Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 74

Entiers particuliers, le corrigé

  • Enoncé du problème n° 74

    Les entiers 22 et 123 font partie des entiers ayant la particularité suivante: dans leur écriture dans le système décimal, la somme des chiffres est égale au produit des chiffres.
    Pouvez-vous trouver le nombre d'entiers s'écrivant avec 5 chiffres (dans le système décimal) qui possèdent aussi cette propriété ?

  • Correction du problème n°74

    On peut remarquer que le chiffre 0 ne doit pas figurer dans l'écriture et que l'on peut limiter la recherche aux entiers s'écrivant a104+b103+c102+10d+e tels que les chiffres a,b,c,d et e vérifient abcde (il suffira alors de permuter).
    Dans ce cas on a : a+b+c+d+e5e et donc abcde5e d'où (puisque 0 ne figure pas) abcd5
    En construisant un arbre on s'aperçoit alors que (a,b,c,d) ne peut prendre que les valeurs : (1,1,1,1),(1,1,1,2),(1,1,1,3),(1,1,1,4),(1,1,1,5),(1,1,2,2) Reste à déterminer e dans chacun des cas en éliminant le cas (1,1,1,1) puisque dans ce cas le produit vaut e et la somme est strictement supérieure à e .
    Par exemple dans le cas (1, 1, 1, 2) il n'y a que la possibilité e=5.
    Au final les entiers cherchés s'obtiennent en permutant les chiffres de 11125, 11133 et 11222.
    Il y a 20 entiers correspondant à 11125, et 10 dans chacun des deux autres cas. Soit donc au total 40 entiers.

Luc Giraud

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Problème n° 74, Entiers particuliers

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Problèmes de l'année 2019-2020

Problème n ° 74

Entiers particuliers

Enoncé du problème n° 74

Les entiers 22 et 123 font partie des entiers ayant la particularité suivante: dans leur écriture dans le système décimal, la somme des chiffres est égale au produit des chiffres.
Pouvez-vous trouver le nombre d'entiers s'écrivant avec 5 chiffres (dans le système décimal) qui possèdent aussi cette propriété ?

Luc Giraud

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