Oiselet - Maths

Problème n°33 : dans un trapèze ; le corrigé

Écrit par Delphine GUILLERMARD le 16 juin 2018. Publié dans Problème de Maths 2017_2018.

Enoncé du problème n° 33
- La grande base d’un trapèze mesure 15 cm et le segment reliant les milieux de ses deux diagonales mesure 3 cm.
- Quelle est la longueur de la petite base du trapèze ?
Auteur : Delphine GUILLERMARD
Correction du problème n° 33
- La grande base d’un trapèze mesure 15 cm et le segment reliant les milieux de ses deux diagonales mesure 3 cm.
- Quelle est la longueur de la petite base du trapèze ?
Auteur : Delphine GUILLERMARD
- Appelons le trapèze ABCD, avec (AB) // (CD), et nommons I et J les milieux respectifs des diagonales [AC] et [BD].
- Dans le triangle ABC, appelons Δ la droite parallèle à (AB) passant par I. Comme (AB) et (CD) sont parallèles, Δ est également parallèle à (CD).
- Δ coupe [BC] en son milieu K.
- Dans le triangle BCD, Δ est parallèle à (CD) et coupe [BC] en son milieu, donc Δ coupe aussi [BD] en son milieu : Δ passe par J.
- Nous obtenons aussi : JK = $\frac{1}{2}$ CD
D’après ce qui précède, J \(\in $ [IK] donc IK = IJ + JK.
- I et K étant les milieux des côtés [AC] et [BC] du triangle ABC, on a IK = $\frac{1}{2}$ AB donc IK = 7,5 cm ;
- par hypothèse, IJ = 3 cm ;
- on a vu dans le point précédent que JK = $\frac{1}{2}$ CD ;

Et nous obtenons en résolvant cette équation : CD = 9

Conclusion : La longueur de la petite base est 9 cm.

Problème n°33 : dans un trapèze

Écrit par Delphine GUILLERMARD le 11 juin 2018. Publié dans Problème de Maths 2017_2018.

Enoncé du Problème n ° 33

La grande base d’un trapèze mesure 15 cm et le segment reliant les milieux de ses deux diagonales mesure 3 cm.
Quelle est la longueur de la petite base du trapèze ?

Auteur : Delphine GUILLERMARD

Problème n°32 : Cercles et chiffres ; le corrigé

Écrit par Delphine GUILLERMARD le 10 juin 2018. Publié dans Problème de Maths 2017_2018.

Enoncé du problème n° 32
- Ces cinq cercles délimitent 9 zones dans lesquelles on inscrit les chiffres de 1 à 9, de telle sorte que la somme des chiffres de chaque disque soit égale à 11.
- Quelle est la valeur de $x$ ?
Auteur : Delphine GUILLERMARD
Correction du problème n° 32
- Ces cinq cercles délimitent 9 zones dans lesquelles on inscrit les chiffres de 1 à 9, de telle sorte que la somme des chiffres de chaque disque soit égale à 11.
- Quelle est la valeur de $x$ ?
Auteur : Delphine GUILLERMARD
Pour plus de commodité, donnons un nom aux chiffres cherchés :
Voici les différentes possibilités pour écrire 11 comme la somme de deux chiffres distincts, ou bien de trois chiffres distincts : 11=9+211=8+311=7+411=6+511=1+2+811=1+3+711=1+4+611=2+3+611=2+4+5 Les sommes de deux termes donnent les différentes possibilités pour les nombres a et b d’une part, et g et h d’autre part.
On remarque que le chiffre 9 n’apparaît pas dans les sommes de trois chiffres, donc a ou h est forcément 9.
La figure étant symétrique, choisissons a=9. Ce qui donne immédiatement b=2.
On remarque maintenant que les chiffres 5 et 7 apparaissent dans une seule des sommes de trois chiffres, donc ce sont les nombres c et f.
Si c=7, alors, comme b+c+d=11, avec b=2, on aurait d=2, ce qui n’est pas possible car le chiffre 2 est déjà inscrit. On en déduit que f=7 et c=5.
Revenons aux écritures de 11 comme somme de deux chiffres : les chiffres 9, 2, 5 et 7 étant déjà inscrits sur la figure, il en résulte que g+h=3+8. Comme f=7, on ne peut pas avoir g=8 (car la somme des chiffres du disque en bas à droite dépasserait 11), donc g=3 et h=8.

Conclusion : Les derniers chiffres se déduisent facilement, et on obtient ainsi : $x = 6$ .

Problème n°33 : dans un trapèze ; le corrigé

Enoncé du problème n° 33

Correction du problème n° 33

Problème n°33 : dans un trapèze

Enoncé du Problème n ° 33

Problème n°32 : Cercles et chiffres ; le corrigé

Enoncé du problème n° 32

Correction du problème n° 32

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