Problème n° 30 : déjà des péages ! Le corrigé

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  • Enoncé du problème n° 30

    • Un seigneur a décidé d'installer des péages à tous les croisements de routes.
      Evidemment il a oublié d'en préciser les tarifs.
      Voici tout ce que l'on sait :
      En voyageant vers l'est, on trouve successivement un péage de 7 sous puis un péage de 13 sous.
      Les tarifs additionnés des 3 péages les plus au nord valent 22 sous, le péage central étant aussi cher à lui seul que les deux autres réunis.
      Les tarifs additionnés des 3 péages les plus au sud valent 31 sous, le péage central coûtant 3 sous de moins que les deux autres réunis.
      Un voyageur qui traverse le centre du pays du nord au sud ou d'est en ouest, paie, dans les deux cas, 32 sous.
      Le péage le moins cher vaut 5 sous, il n'est ni au sud, ni à l'ouest.
      Le péage le plus cher vaut 14 sous.
      Le péage le moins cher des péages du sud est à l'ouest.
      Tous les prix des péages sont différents.
      Voici un plan de la région. Les petites maisons sont les péages installés par le seigneur.

    Auteur : Florence TOURNIER

  • Correction du problème n° 30

    • Un seigneur a décidé d'installer des péages à tous les croisements de routes.
      Evidemment il a oublié d'en préciser les tarifs.
      Voici tout ce que l'on sait :
      En voyageant vers l'est, on trouve successivement un péage de 7 sous puis un péage de 13 sous.
      Les tarifs additionnés des 3 péages les plus au nord valent 22 sous, le péage central étant aussi cher à lui seul que les deux autres réunis.
      Les tarifs additionnés des 3 péages les plus au sud valent 31 sous, le péage central coûtant 3 sous de moins que les deux autres réunis.
      Un voyageur qui traverse le centre du pays du nord au sud ou d'est en ouest, paie, dans les deux cas, 32 sous.
      Le péage le moins cher vaut 5 sous, il n'est ni au sud, ni à l'ouest.
      Le péage le plus cher vaut 14 sous.
      Le péage le moins cher des péages du sud est à l'ouest.
      Tous les prix des péages sont différents.
      Voici un plan de la région. Les petites maisons sont les péages installés par le seigneur.

     

    Auteur : Florence TOURNIER

      • La situation correspond à la figure suivante :

        Les tarifs additionnés des 3 péages les plus au nord valent 22 sous, le péage central étant aussi cher à lui seul que les deux autres réunis.
        Donc $A + B + C = 22$ et $ B = A + C $ donc $2B = 22 \iff B = 11$ et donc $A + C = 11.$
        Les tarifs additionnés des 3 péages les plus au sud valent 31 sous, le péage central coûtant 3 sous de moins que les deux autres réunis.
        Donc $G + H + I = 31$ et $H = G + I – 3$ $G + I = H + 3 $
        donc $2H + 3 = 31\iff H = 14$ donc $H = 14$ ( le péage le plus cher ) et $ G + I = 17$
        Un voyageur qui traverse le centre du pays du nord au sud ou d'est en ouest, paie, dans les deux cas, 32 sous.
        Donc $B + E + H = 32$ donc $E = 32 – 11 – 14$ d'où $E = 7$ et $ D + E + F = 32$ donc $ D + F = 32 – 7$ d'où $D + F = 25$
        En voyageant vers l'est, on trouve successivement un péage de 7 sous puis un péage de 13 sous.
        Le péage valant 7 sous est $E$. En voyageant vers l'est on rencontre ensuite $F$ donc $F = 13$.
        Or $D + F = 25$ donc $D = 25 – 13 $ d'où $D = 12$.
        Il nous reste donc $A + C = 11 $ et $ G + I = 17$.
        Le péage le moins cher vaut 5 sous, il n'est ni au sud, ni à l'ouest.
        $G$ et $I$ sont au sud , $A$ est à l'ouest . On en déduit donc que le péage le moins cher est $C$.
        Donc $C = 5$ . Par conséquent $A = 11 – 5$ donc $A = 6$.
        Le péage le moins cher des péages du sud est à l'ouest et tous les prix des péages sont différents.
        $G + I = 17$ .
        La seule possibilité restante avec des nombres compris entre 5 et 14 et non encore choisis est 9 + 8.
        $G$ est à l'ouest donc $G = 8$ et $I = 9$.

Problème n° 30 : déjà des péages !

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Enoncé du Problème n ° 30

  • Un seigneur a décidé d'installer des péages à tous les croisements de routes.
    Evidemment il a oublié d'en préciser les tarifs.
    Voici tout ce que l'on sait :
    En voyageant vers l'est, on trouve successivement un péage de 7 sous puis un péage de 13 sous.
    Les tarifs additionnés des 3 péages les plus au nord valent 22 sous, le péage central étant aussi cher à lui seul que les deux autres réunis.
    Les tarifs additionnés des 3 péages les plus au sud valent 31 sous, le péage central coûtant 3 sous de moins que les deux autres réunis.
    Un voyageur qui traverse le centre du pays du nord au sud ou d'est en ouest, paie, dans les deux cas, 32 sous.
    Le péage le moins cher vaut 5 sous, il n'est ni au sud, ni à l'ouest.
    Le péage le plus cher vaut 14 sous.
    Le péage le moins cher des péages du sud est à l'ouest.
    Tous les prix des péages sont différents.
    Voici un plan de la région. Les petites maisons sont les péages installés par le seigneur.

Auteur : Florence TOURNIER

Problème n° 29 : un drôle de cocktail ! Le corrigé

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  • Enoncé du problème n° 29

    • Un chimiste réalise un drôle de cocktail : dans un verre conique, il verse successivement du mercure (densité 13,59), de l’eau (densité 1) et de l’huile (densité 0,915).
      Les trois liquides remplissent le verre sans se mélanger en y formant trois couches d’égale épaisseur.
      Le verre contient-t-il alors une masse plus importante d’eau, d’huile ou de mercure ? Rappel : Masse = densité $\times$ volume.

    Auteur : Lionel DARIE

  • Correction du problème n° 29

    • Un chimiste réalise un drôle de cocktail : dans un verre conique, il verse successivement du mercure (densité 13,59), de l’eau (densité 1) et de l’huile (densité 0,915).
      Les trois liquides remplissent le verre sans se mélanger en y formant trois couches d’égale épaisseur.
      Le verre contient-t-il alors une masse plus importante d’eau, d’huile ou de mercure ? Rappel : Masse = densité $\times$ volume.

     

    Auteur : Lionel DARIE

      • La situation correspond à la figure suivante :

        Chaque couche (huile, eau, mercure) a la même épaisseur $h$.
        Le rayon de la base du cône est $AH = R$.
        A l’aide du théorème de Thalès, on calcule les rayons des cercles délimitant respectivement les couches d’huile et d’eau ( $FI = \dfrac{2}{3 }R$) et les couches d’eau et de mercure ($DJ = \dfrac{1}{3 }R$ ) :
        Les triangles $AHC$ et $FIC$ sont en situation de Thalès donc :
        $\dfrac{FI}{AH} = \dfrac{IC}{HC}$ soit : $\dfrac{FI}{R} =\dfrac{h}{ 3h}$ d’où : $FI = \dfrac{2}{3} R$.
        De même, les triangles $AHC$ et $DJC$ sont en situation de Thalès donc :
        $DJAH = JCHC$ soit : $\dfrac{DJ}{R} = \dfrac{h}{3 h}$ d’où : $DJ = \dfrac{1}{3} R$.
        Volume du mercure : le volume d’un cône est $V = \dfrac{1}{3} \times \text{Base}\times \text{ hauteur}$.
        Ici la base est un disque de rayon $DJ = \dfrac{1}{3} R$ la hauteur est $h$. Donc :
        $V_m = \dfrac{1}{3} \pi \times \left( \dfrac{1}{3} R\right)^2 \times h = \dfrac{1}{27}\pi h R^2$
        Masse du mercure : $M_m = 13,59 \times V_m = 13,59 \times \dfrac{1}{27}\pi h R^2 = 0,503 \pi h R ^2$.
        Volume de l’eau : C’est la différence des volumes de deux cônes : $V_e = \dfrac{1}{3} \pi \times \left( \dfrac{2}{3} R\right)^2 \times 2 h-\dfrac{1}{27}\pi h R^2$
        Soit :$ V_e =\dfrac{8}{27} h\pi R ^2 –\dfrac{1}{27}\pi h R^2$
        D’où $Ve = \dfrac{7}{27}\pi h R^2$ Masse de l’eau : $M_e = 1 \times V_e = \dfrac{7}{27}\pi h R^2 \approx 0,259 \pi h R ^2$.
        Volume de l’huile : on procède encore par différence :
        $V_h = \dfrac{1}{3} \pi h R^2 \times 3 h – \dfrac{8}{27} h\pi R ^2$
        Soit : $V_h = \pi h R^2 h – \dfrac{8}{27} h\pi R ^2$
        D’où : $V_h = \dfrac{19}{27}\pi h R^2$
        Masse de l’huile : $M_h = 0,915\times V_h = 0,915 \dfrac{19}{27}\pi h R^2 \approx 0,644 \times \pi h R ^2$.
    Conclusion : Masse de l’huile > Masse du mercure > Masse de l’eau.

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