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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 53

Points à coordonnées entières

Enoncé du problème n° 53 Ci dessous est représenté dans un repère l’ensemble des points dont le couple \((x,y)\) de coordonnées vérifie la relation \(x^2 — 2y^2 = 1\). On s’intéresse plus particulièrement aux points de cette courbe dont les coordonnées sont des entiers comme par exemple le point A dont le couple de coordonnées est (1 , 0). Donner quatre autres couples d’entiers \((x,y)\) tels que \(x^2 — 2y^2 = 1\). Soit \(a\) et \(b\) des entiers naturels. On pose \(A = a + 2b\) et \(B = a + b\). Exprimer \(A^2 — 2B^2\) en fonction de \(a^2 — 2b^2\). Donner un nouveau couple d’entiers \((x, y)\) solution de l’équation \(x^2 - 2y^2 = 1 \) tel que \(x > 10\). Rédiger un algorithme affichant le premier couple d’entiers \((x, y)\) solution de l’équation \(x^2 — 2y^2 = 1 \) et tel que \(x > 2 018\). Quel est le couple obtenu?

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 52

Un découpage, le corrigé

Quelles sont les dimensions du rectangle ci-dessus sachant qu'il a été découpé en trois morceaux de même aire ?

L'égalité d'aire des deux triangles rectangles fournit : $$\dfrac{x(y-3)}{2}=\dfrac{(x-2)y}{2}$$ $$\begin{array}{rl} \dfrac{x(y-3)}{2}=\dfrac{(x-2)y}{2}&\iff xy-3x=xy-2y\\ &\iff 2y=3x \\ &\iff y= \dfrac{3x}{2} \end{array}$$ Par ailleurs l'aire du triangle rectangle de base \(x\) et de hauteur \(y-3\) est égale au tiers de l'aire du rectangle d'où : $$ \dfrac{x(y-3)}{2}=\dfrac{xy}{3} \iff 3xy-9x= 2xy \iff xy-9x= 0\; (1) $$ On reporte \( y= \dfrac{3x}{2}\) dans \((1)\). $$\begin{array}{rl} (1)&\iff x\times \dfrac{3x}{2}-9x=0 \\ & \iff 3x^2-18x =0\\ &\iff 3x(x-6)=0\\ &\iff x=0 \text{ ou } x=6 \end{array}$$ La largeur du rectangle vaut 6 et sa longueur vaut \( y= \dfrac{3x}{2}=9\).

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 51

Foire au bétail, le corrigé

Un homme veut acheter pour cent sous cent animaux de différentes espèces.Un cheval coûte trois sous, un boeuf un sou et vingt-quatre brebis un sou. Que celui qui le peut dise combien il aura de chevaux, de boeufs et de brebis !

Le nombre de brebis sera forcément multiple de 24, car la somme à payer pour un groupe de boeufs et de chevaux est entière, donc aussi la somme à payer pour les brebis. Soit alors \(x\) le nombre de chevaux, \(y\) celui de boeufs, \(24 z\) celui de brebis. On a le système : $$\left\lbrace \begin{array}{l} x+y+24 z =100\\ 3x+y+z=100 \end{array} \right. $$ où les inconnues sont des entiers naturels. En soustrayant membre à membre, il vient \(2x = 23z\), ce qui prouve que \(z\) est pair. De \(24z < 100\) on déduit que \(z\) ne peut valoir que \(0, 2\) ou \(4\). Mais \(z= 4\) donnerait \(x = 46\), donc \(y\) serait négatif. Si on écarte la solution qui consiste à prendre 100 boeufs pour 100 sous (l’énoncé parle de différentes espèces), il reste \(z = 2\) , qui donne 23 chevaux, 29 boeufs et 48 brebis. La solution : « Trois fois 23 font 69. Et deux fois 24 font 48. On a donc 23 chevaux pour 69 sous, 48 moutons pour 2 sous et 29 boeufs pour 29 sous. On additionne 23, 48 et 29, ce qui donne 100 animaux. On additionne ensuite 69, 2 et 29, ce qui donne 100 sous. On a bien eu ainsi 100 animaux pour 100 sous.»