Maths ...

Problème n ° 108

" Jetez votre calculatrice !", le corrigé

• Enoncé du problème n° 108

  Pour trois points $A, B$ et $C$ on donne
  $BC = 2 \;931 \;311 \; 626 \;097 $ ,
  $AC = 4,92 $ et
  $AB = \sqrt{17}$ ( unité le cm ).
  Démontrer que ce triangle ABC n'est pas rectangle !

• Correction du problème n°108

  La machine affiche pour le calcul de $BC^2$: 21,92 . (elle doit avoir raison !)
  De plus $AC^2 = (\sqrt{4,92 })^2 = 4,92$ (c’est certain) et $AB^2 = ( \sqrt{17} )^2 = 17 $ (c’est aussi une certitude)
  donc on a $ AC^2 + AB^2 = 4,92 + 17 = 21,92 $ qui est vraie .
  Si l’affichage de la machine est la valeur exacte de $BC^2$ , d’après le théorème de Pythagore j’en déduis que ce triangle $ABC$ sera rectangle en $A$ !
  sinon il ne l’est pas !! et il ne le sera pas non plus ni en B ni en C puisque BC est le coté le plus long.

  • a-t-on $\left(\dfrac{2 \;931 \;311 }{ 626\; 0972}\right)^2 = 21,92 $? \renewcommand{\arraystretch}{1.25} $$\begin{array}{rl} \left(\dfrac{2 \;931 \;311 }{ 626\; 0972}\right)^2 = 21,92 & \iff 2 \;931 \;311 ^2 = 21,92\times 626\; 0972 ^2 \\ & \iff2 \;931 \;311 ^2 \times 100 = 21 92\times 626\; 0972 ^2 \\ \end{array}$$ Le membre de gauche est un entier qui a 0 pour unité alors que le membre de droite est un entier qui a 8 pour unité.
    Donc l’égalité précédente ne peut pas être vérifiée !!!!
    conclusion : ce triangle n’est pas rectangle !!!!
    Demander le calcul de $ BC^2$ avec Géogébra ou Excel ... ( en affichant le plus de décimales possibles par cette application)

Michel Simonet

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Problème n ° 108

" Jetez votre calculatrice !"

Michel Simonet

Maths ...

Problème n ° 105

Les élastiques, le corrigé

• Enoncé du problème n° 105

  $AB$ et $CD$ sont deux pièces de bois verticales sur une surface horizontale $AC$.
  $AD$ est un élastique qui peut être étiré théoriquement aussi loin que vous le souhaitez.
  $BC$ est plus long que $AD$, mais possède les mêmes propriétés.
  $P$ est le point d'intersection des deux élastiques.
  Démontrez que la hauteur $P$ au-dessus de la surface horizontale reste constante peu importe la longueur $AC$ (en supposant que les élastiques restent tendus).
  Dans l'exemple ci-dessus, $AB =$12 cm et $CD =$ 6 cm et je pourrais vous demander la distance constante $PQ$, peu importe la distance que mesure $AC$.

• Correction du problème n°105

  Une solution :
  On se place dans le repère où

  • $A(0,0); B(0,12);C(a,0),D(a,6)$
  • on calcule les coordonnées du point $P$ intersection des droites $(AD)$ et $(BC)$.
    On obtient $(AD): y=\frac{6}{a}x$ et $(BC): y=-\frac{12}{a}x+12$
  • On résout le système $\left\lbrace \begin{array}{l} y=\frac{6}{a}x\\ y=-\frac{12}{a}x+12 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l} y=\frac{6}{a}x\\ \frac{6}{a}x=-\frac{12}{a}x+12 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l} y=\frac{6}{a}\times \frac{ 2}{3}a =4\\ x= \frac{ 2}{3}a \end{array} \right. $
  • On a donc $P( \frac{ 2}{3}a;4)$ et $Q( \frac{ 2}{3}a;0)$ et donc $PQ=4$

  Une animation sous GeoGebra :

   

Luc GIRAUD