$ABCD$ est un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires.
On connaît les dimensions de trois des côtés : $AB = 20 \text{ cm} ; BC = 60 \text{ cm}; AD = 92\text{ cm}$, comme indiqué sur le schéma ci-dessus.
Calculer la longueur du quatrième côté.
Correction du problème n°113
Nommons $E$ le centre du quadrilatère.
Notons $b$ la distance $BE$,
$d$ la distance $DE$,
$a$ la distance $AE$,
$c$ la distance $CE$.
Le théorème de Pythagore, appliqué respectivement dans les triangles $BEC, BEA$ et $AED$, qui sont tous rectangles en $E$, nous donne :
$b^2+c^2=60^2 $ soit $b^2+c^2=3600$ (1)
$b^2+a^2=20^2$ soit $ b^2+a^2=400 $ (2)
$a^2+d^2=92^2$ soit $ a^2+d^2=8464$ (3)
Et dans le triangle $CED$ rectangle en $E$, on obtient : $CD^2=c^2+d^2$
En utilisant la relation (1), selon laquelle $c^2=3600-b^2$, on a : $CD^2=3600-b^2+d^2$
Utilisons maintenant la relation (2), selon laquelle $b^2=400-a^2$. On obtient :
$$CD^2=3600-(400-a^2)+d^2$$
Soit : $$CD^2=3200+a^2+d^2$$
Et comme, d’après la relation (3) $$a^2+d^2=8464 , \text{ on a : } CD^2=3200+8464$$
$$CD^2=11664$$
$$CD=108$$
$ABCD$ est un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires.
On connaît les dimensions de trois des côtés : $AB = 20 \text{ cm} ; BC = 60 \text{ cm}; AD = 92\text{ cm}$, comme indiqué sur le schéma ci-dessus.
Calculer la longueur du quatrième côté.
Un nombre a six chiffres, qui sont notés $a,b,c,d,e,f$, où $f$ est le chiffre des unités, $e$ est le chiffre des dizaines,$\cdots$ etc $\cdots$ , $a$ est le chiffre des centaines de mille. On notera ce nombre $abcdef$. On notera de la même façon des nombres formés avec certains de ces chiffres. Les six chiffres sont choisis parmi les chiffres 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6. Chacun est utilisé une et une seule fois. On sait que :
le nombre abcdef est un multiple de 6 ;
le nombre abcde est un multiple de 5 ;
le nombre abcd est un multiple de 4 ;
le nombre abc est un multiple de 3 ;
le nombre ab est un multiple de 2.
Trouver tous les nombres possibles abcdef qui remplissent ces conditions.
Correction du problème n°112
Le nombre $abcdef$ est un multiple de 6. Il est donc divisible à la fois par 3 et par 2. La somme de ses chiffres est égale à 1+2+3+4+5+6 = 21, qui est un multiple de 3, donc notre nombre abcdef est bien un multiple de 3, dans tous les cas. Il est un multiple de 2 si et seulement si son dernier chiffre est pair. Donc $f=$2 ou 4 ou 6.
Le nombre abcde est un multiple de 5. Or les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5. Ici on ne peut pas avoir le chiffre 0. On en déduit donc que $e=5$.
Le nombre abcd est un multiple de 4. Un nombre d’au moins trois chiffres est un multiple de 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4. donc le nombre $cd$ est un multiple de 4. En conséquence, $d$ est pair, donc $d=$ 2 ou 4 ou 6.
Le nombre $abc$ est un multiple de 3. Donc la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Donc $a+b+c$ est un multiple de 3.
Le nombre $ab$ est un multiple de 2. Donc $b=$ 2 ou 4 ou 6. Nous savons donc que les chiffres pairs sont $f,d$ et $ b$, et que les chiffres impairs sont $a,$c et $e$. Et on sait déjà que $e=5$. Il reste deux possibilités pour $a$ et $c$ : ($a=1$ et $ c=3$ ) et ($a=3$ et $ c=1$) Dans ces deux cas, on a : $a+c=4$. Donc $ a+b+c=4+b$. Donc $4+b$ est un multiple de 3.
si $b= $
2
4
6
alors $4+b =$
6
8
10
La seule possibilité pour que $4+b$ soit un multiple de 3 est : $b=2$. Il reste deux possibilités pour $d$ et $f$ : ($d=4$ et $f=6$) et ($d=6$ et $ f=4$) Intéressons-nous maintenant au nombre $cd$, qui doit être un multiple de 4 :
avec $c=1$, on aura nécessairement $d=6$ pour respecter cette condition. Il en découle alors : $a=3$ ; $f=4 $ et le nombre ainsi obtenu est : $321\; 654$
avec $ c=3$, on aura aussi nécessairement $d=6$ pour respecter cette condition. Il en découle alors : $a=1$ ; $f=4 $ et le nombre ainsi obtenu est : $123\; 654$
Ainsi, si un nombre vérifie tous les critères donnés, c’est forcément l’un des deux nombres $321 \;654$ et $123 \;654$. Nous pouvons vérifier que tous deux remplissent bien toutes les conditions. La réponse est donc : $321 \;654$ et $123 \;654$.
