Enoncé du problème n° 113
$ABCD$ est un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires.
On connaît les dimensions de trois des côtés : $AB = 20 \text{ cm} ; BC = 60 \text{ cm}; AD = 92\text{ cm}$, comme indiqué sur le schéma ci-dessus.
Calculer la longueur du quatrième côté.
Correction du problème n°113
Nommons $E$ le centre du quadrilatère.
Notons $b$ la distance $BE$,
$d$ la distance $DE$,
$a$ la distance $AE$,
$c$ la distance $CE$.
Le théorème de Pythagore, appliqué respectivement dans les triangles $BEC, BEA$ et $AED$, qui sont tous rectangles en $E$, nous donne :
En utilisant la relation (1), selon laquelle $c^2=3600-b^2$, on a : $CD^2=3600-b^2+d^2$ Utilisons maintenant la relation (2), selon laquelle $b^2=400-a^2$. On obtient :
$$CD^2=3600-(400-a^2)+d^2$$ Soit : $$CD^2=3200+a^2+d^2$$ Et comme, d’après la relation (3) $$a^2+d^2=8464 , \text{ on a : } CD^2=3200+8464$$ $$CD^2=11664$$ $$CD=108$$
Notons $b$ la distance $BE$,
$d$ la distance $DE$,
$a$ la distance $AE$,
$c$ la distance $CE$.
Le théorème de Pythagore, appliqué respectivement dans les triangles $BEC, BEA$ et $AED$, qui sont tous rectangles en $E$, nous donne :
- $b^2+c^2=60^2 $ soit $b^2+c^2=3600$ (1)
- $b^2+a^2=20^2$ soit $ b^2+a^2=400 $ (2)
- $a^2+d^2=92^2$ soit $ a^2+d^2=8464$ (3)
En utilisant la relation (1), selon laquelle $c^2=3600-b^2$, on a : $CD^2=3600-b^2+d^2$ Utilisons maintenant la relation (2), selon laquelle $b^2=400-a^2$. On obtient :
$$CD^2=3600-(400-a^2)+d^2$$ Soit : $$CD^2=3200+a^2+d^2$$ Et comme, d’après la relation (3) $$a^2+d^2=8464 , \text{ on a : } CD^2=3200+8464$$ $$CD^2=11664$$ $$CD=108$$
