Ce premier nombre compte 1 chiffre 1. Mathilde écrit donc 11.
Ce deuxième nombre s'écrit avec 2 chiffres 1. Mathilde écrit donc 21 (troisième nombre).
Elle écrira ensuite 1211,
puis 111221, etc $\ldots$
Si Mathilde écrivait 27 nombres, le dernier nombre écrit compterait 2012 chiffres ! Mais Mathilde s'arrête après avoir écrit le 13e nombre. Combien ce 13ème nombre compte-t-il de chiffres ?
Des fourmis se déplacent, en ligne droite, à la queue leu leu, à vitesse constante, en formant une colonne de 50 cm de long. La dernière fourmi du groupe décide d’aller ravitailler la fourmi chef, et pour cela elle rejoint la tête de la colonne puis, sa mission étant accomplie, retourne aussitôt à la queue de la colonne. Sachant que, pendant cet aller-retour, la vitesse de cette fourmi est restée constante et que la colonne a parcouru 50 cm, quelle est la distance parcourue par la fourmi ravitailleuse ?
Un jeu, quatre joueurs et 1 table. A chaque partie le perdant paie à chacun des trois gagnants le montant exact que chacun a sur lui. Quatre parties jouées, chaque joueur perdant une partie. A la fin ils ont chacun la même somme de 40 € . Avec quelle somme chaque joueur a-t-il commencé la partie ?
Correction du problème n°92
Notons $X, Y, Z$ et $T$ les quatre joueurs et $x, y, z$ et $t$ leurs avoirs en début de partie. L'argent étant échangé entre les joueurs on peut affirmer que $$x + y + z + t = 160.$$ Supposons que $X, Y, Z, T$ perdent dans cet ordre. Alors après avoir perdu, $X$ possède $x-y -z -t$ puis il gagne trois fois donc en fin de jeu $X$ possède $8(x-y-z-t) = 40$ à savoir $$x - y - z - t = 5$$ Passons à $Y$ (ici un logiciel de calcul formel est pratique !) : à l'issue de la première partie (qu'il gagne) il possède $2y$, à l'issue de la deuxième (qu'il perd) il possède $3y - x - z - t$ et à la fin du jeu il possède $4(3y - x - z - t) = 40$ à savoir $$3y - x - z - t = 10$$ Pour $Z$ : à l'issue de la deuxième partie il possède $4z$ puis il perd il lui reste donc $-x - y + 7z - t$ et à la fin de la partie il possède $-2x - 2y + 14z - 2t = 40$ à savoir $$-x - y + 7z - t = 20 .$$ on a donc à résoudre le système : $(S)\left\lbrace \begin{array}{lcccl} x& + y &+ z &+ t &= 160\\ x &- y &- z &- t &= 5\\ -x& +3y &- z&- t &= 10\\ -x& - y &+ 7z &- t &= 20 \end{array}\right.$ On peut ici aussi utiliser un logiciel de calcul formel ou alors en combinant la première équation avec la deuxième on obtient $2x = 165 $ ,soit $ x = 82, 5$ . Avec la troisième et la deuxième on obtient $4y = 170 $, soit $y = 42, 5$. Avec la quatrième et la troisième on obtient $8z = 180$ ,soit $z = 22, 5$ et on termine par $t= 12,5.$
