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Problème n ° 112

Des chiffres et des lettres, le corrigé

• Enoncé du problème n° 112

  Un nombre a six chiffres, qui sont notés $a,b,c,d,e,f$, où $f$ est le chiffre des unités, $e$ est le chiffre des dizaines,$\cdots$ etc $\cdots$ , $a$ est le chiffre des centaines de mille.
  On notera ce nombre $abcdef$.
  On notera de la même façon des nombres formés avec certains de ces chiffres.
  Les six chiffres sont choisis parmi les chiffres 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6.
  Chacun est utilisé une et une seule fois. On sait que :

  • le nombre abcdef est un multiple de 6 ;
  • le nombre abcde est un multiple de 5 ;
  • le nombre abcd est un multiple de 4 ;
  • le nombre abc est un multiple de 3 ;
  • le nombre ab est un multiple de 2.

  Trouver tous les nombres possibles abcdef qui remplissent ces conditions.

• Correction du problème n°112

  • Le nombre $abcdef$ est un multiple de 6. Il est donc divisible à la fois par 3 et par 2.
    La somme de ses chiffres est égale à 1+2+3+4+5+6 = 21, qui est un multiple de 3, donc notre nombre abcdef est bien un multiple de 3, dans tous les cas.
    Il est un multiple de 2 si et seulement si son dernier chiffre est pair. Donc $f=$2 ou 4 ou 6.
  • Le nombre abcde est un multiple de 5. Or les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5. Ici on ne peut pas avoir le chiffre 0. On en déduit donc que $e=5$.
  • Le nombre abcd est un multiple de 4. Un nombre d’au moins trois chiffres est un multiple de 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.
    donc le nombre $cd$ est un multiple de 4. En conséquence, $d$ est pair, donc $d=$ 2 ou 4 ou 6.
  • Le nombre $abc$ est un multiple de 3.
    Donc la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
    Donc $a+b+c$ est un multiple de 3.
  • Le nombre $ab$ est un multiple de 2. Donc $b=$ 2 ou 4 ou 6.
    Nous savons donc que les chiffres pairs sont $f,d$ et $b$, et que les chiffres impairs sont $a,$c et $e$.
    Et on sait déjà que $e=5$.
    Il reste deux possibilités pour $a$ et $c$ :
    ($a=1$ et $c=3$ ) et ($a=3$ et $c=1$)
    Dans ces deux cas, on a : $a+c=4$.
    Donc $a+b+c=4+b$. Donc $4+b$ est un multiple de 3.
    

    si $b=$	2	4	6
    alors $4+b =$	6	8	10

    La seule possibilité pour que $4+b$ soit un multiple de 3 est : $b=2$.
    Il reste deux possibilités pour $d$ et $f$ :
    ($d=4$ et $f=6$) et ($d=6$ et $f=4$)
    Intéressons-nous maintenant au nombre $cd$, qui doit être un multiple de 4 :

  • avec $c=1$, on aura nécessairement $d=6$ pour respecter cette condition. Il en découle alors :
    $a=3$ ; $f=4$ et le nombre ainsi obtenu est : $321\; 654$
  • avec $c=3$, on aura aussi nécessairement $d=6$ pour respecter cette condition. Il en découle alors :
    $a=1$ ; $f=4$ et le nombre ainsi obtenu est : $123\; 654$

  Ainsi, si un nombre vérifie tous les critères donnés, c’est forcément l’un des deux nombres $321 \;654$ et $123 \;654$.
  Nous pouvons vérifier que tous deux remplissent bien toutes les conditions.
  La réponse est donc : $321 \;654$ et $123 \;654$.

Delphine Guillermard