Semaine des Maths 20017-2018 ; le mardi 13 mars, correction de l'énigme 2 ( Lycée 1)

Enoncé de l'énigme n° 2 (Lycée 1)

Soit ABCD un trapèze dont les côtés [AD] et [BC] sont parallèles. Les diagonales [AC] et [BD] se coupent au point P. L'aire du triangle APD est 4 cm2 et l'aire du triangle BPC est 9 cm². Combien vaut le quotient AP/PC ?

Correction de l'énigme n° 2 (Lycée 1)

On utilise la figure d'étude ci-dessous :

• On sait que (AD) et (BC) sont sécantes en P et que (AD) // (BC). On a donc, d'après le théorème de Thalès : $$\dfrac{PA}{PC} = \dfrac{PD}{PB}=\dfrac{AD}{CB}$$
• Notons $k$ la valeur de ce quotient.
  On a $PA=k\times PC$ , $PD=k\times PB $ et $AD=k\times CB $
  donc le triangle $APD$ est une réduction de coefficient $k$ du triangle $BPC$ ( ce ne peut pas être un agrandissement car l'aire du triangle $APD$ est inférieure à celle du triangle $BPC $).
  L'aire du triangle $APD$ est donc égale au produit de l'aire du triangle BPC par $k^2$.
  Comme l'aire du triangle $APD$ est égale à 4 cm$^2$, et comme celle du triangle $BPC$ est égale à 9 cm $^2$, on a : $$k^2= \dfrac{4}{9}$$ donc comme $k>0$, on déduit $k= \dfrac{2}{3}$

Auteur : Delphine GUILLERMARD