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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 47

Le drapeau, le corrigé

Un drapeau a la forme d’un triangle équilatéral. Il est suspendu par deux de ses sommets en haut de mâts verticaux de 3 et 4 mètres. Le 3ème sommet affleure exactement le sol. Quelle est la longueur du côté de ce drapeau ?

L’observation de la figure doit vous faire penser aux triangles rectangles et aux formules de trigonométrie. On pose \(AB = BC = CA = x, DC=y\) et \(CE = z \) Les triangles \(ADC,BCE\), et \(AFE\) sont rectangles respectivement en \(D,E\) et \(F\), donc d'après la propriété de Pythagore, on a : \(AC^2= AD^2+DC^2\) soit \(x^2=9+y^2\) soit \(y^2=x^2-9\) ( 1) \(BC^2 = BE^2 + EC^2\) soit \(x^2 = 16 + z^2\) soit \(z^2 = x^2 - 16\).(2) \(AB^2 = AF^2 + FB^2\) soit \(x^2 = 1 + (y + z)^2\) soit \(x^2 - 1 +y^2 + z^2 + 2yz \)(3) L’addition de (1) et (2) nous donne : \(y^2 + z^2 = 2x^2 - 25\) On remplace dans (3) : \(x^2 = 1 + (2x^2 - 25) + 2yz\) donc \(2yz = x^2 - 1 - 2x^2 + 25\) soit \(2yz = 24 -x^2\) soit \(4y^2z^2 = (24 - x2)^2\) On remplace \(y^2\) et \(z^2\) par leur valeur donnée en (1) et (2) : $$4(x^2 - 9)(x^2 - 16) = (24 - x^2)^2$$ On obtient donc : $$4(x^4 - 16x^2 - 9x^2 + 144) = 576 - 48x^2 + x^4 $$ $$4x^4 - 100x^2 + 576 = 576 - 48x^2 + x^4 $$ $$ 3x^4 - 52x^2 = 0 $$ $$x^2(3x^2 - 52) = 0$$ $$x^2 = 0 \text{ ou } 3x^2 - 52 = 0$$ $$ x=0 \text{ ou } x= \sqrt{\dfrac{52}{3}} \text{ ou } x=- \sqrt{\dfrac{52}{3}}$$ Or \(x \) est une longueur non nulle, donc le côté du drapeau mesure \(\sqrt{\dfrac{52}{3}}\) mètres, soit environ 4.16 mètres.

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 48

Une fonction particulière

Enoncé du problème n° 48 Soit \(f\) la fonction définie sur l’ensemble des entiers naturel par : l’image d’un entier \(n\) est le plus petit chiffre de son écriture décimale (en base 10). Par exemple : \(f(2015) = 0\) Que vaut : \(f(100) + f(101) + f(102) + ... + f(998) + f(999) \)?

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 46

Le paradoxe des anniversaires, le corrigé

Dans une classe de 30 élèves, quelle est la probabilité pour que 2 élèves fêtent leurs anniversaires le même jour? Avec 365 jours par an, une trentaine d'élèves dans la classe, on se dit qu'elle doit être faible...

Eh bien justement, parlons en de la probabilité ! Il se trouve qu’elle n’est pas du tout négligeable : dans un groupe d’environ 25 personnes, il y a plus de 50 % de chance que deux de ces personnes soient nées le même jour. Ce résultat est tellement contraire à notre intuition qu’on l’appelle le paradoxe des anniversaires. Pour les incrédules et les lycéens qui révisent les probabilités pour le bac, faisons ensemble le calcul pour un groupe de N personnes. Pour faire cela, on va prendre l'événement contraire, et calculer la probabilité P que toutes les personnes aient leur anniversaire un jour différent. Et pour calculer cette probabilité, on va classiquement procéder par dénombrement. Commençons par l’ensemble de tous les cas possibles : pour la première personne, 365 dates sont possibles, pour la seconde aussi, de même que pour la troisième et toutes les autres. Si on multiplie tout ça il y a donc 365\(^N \) cas possibles. Maintenant quels sont les cas où les anniversaires sont tous différents : pour la première personne il y a 365 choix, pour la seconde il n’en reste que 364, pour la troisième 363, etc. et pour la Nième seulement \((365-N+1)\). Si on multiplie tout ça on trouve la quantité \(365\times 36\times363\times\cdots (365-N+1)\) On peut donc calculer notre probabilité P qui vaut $$P= \dfrac{365\times 364\times363\times\cdots (365-N+1)}{365^N}$$ J’espère que vous me croyez pour l’application numérique, mais avec N=23 personnes on trouve P = 0,49. Mais rappelez vous que P est la probabilité que les anniversaires soient tous différents. Donc la probabilité qu’il y en ait au moins deux identiques est 1 - P, soit ici 0,51, c’est-à-dire 51 Et plus il y a de personnes dans le groupe, plus cette probabilité augmente. Dans un groupe de 50 personnes, il y a plus de 95 % de chance que deux personnes aient leur anniversaire le même jour. Une figure montrant l'évolution de cette probabilité :

# Probleme des anniversaires def proba(n): Card_univers=365**n P=365 for j in range(1,n): P=P*(365-j) return 1-P/Card_univers # Creation d'un nuage de points from pylab import * x=[] y=[] for i in range(1,70): x.append(i) y.append(proba(i)) import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt z = np.array([1,70]) t = np.array([0.5, 0.5]) plt.plot(z, t) plot(x, y, 'ro') # modif plot([23],[proba(23)],'b') axis([-1,70,0,1]) grid() show()