Maths ...
Problèmes de l'année 2018-2019
Problème n ° 47
Le drapeau
Enoncé du problème n° 47 Un drapeau a la forme d’un triangle équilatéral. Il est suspendu par deux de ses sommets en haut de mâts verticaux de 3 et 4 mètres. Le 3ème sommet affleure exactement le sol. Quelle est la longueur du côté de ce drapeau ?
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Problèmes de l'année 2018-2019
Problème n ° 46
Le paradoxe des anniversaires
Enoncé du problème n° 46 Dans une classe de 30 élèves, quelle est la probabilité pour que 2 élèves fêtent leurs anniversaires le même jour? Avec 365 jours par an, une trentaine d'élèves dans la classe, on se dit qu'elle doit être faible...
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Problèmes de l'année 2018-2019
Problème n ° 45
À contre-courant; le corrigé
Un bateau-mouche fait tous les jours le même parcours : il descend une partie de la Seine, fait demi-tour, et remonte à contre-courant jusqu’à son point de départ. Un jour, la vitesse du courant est plus élevée que d’habitude. Le bateau va-t-il mettre moins, autant ou plus de temps que d’habitude pour faire l’aller-retour ? Le bateau va mettre moins de temps à l’aller mais plus de temps au retour.
Si on note : \(v\) la vitesse constante du bateau-mouche \(v_0\) la vitesse du courant, avec bien sûr la condition \(v> v_0\). \(T_1\) le temps mis pour faire le trajet avec le courant favorable $$ T_1=\dfrac{d}{v+v_0}$$ \(T_2\) le temps mis pour faire le trajet avec le courant défavorable $$T_2=\dfrac{d}{v-v_0}$$ $$T_{\textbf{Total}}=T_1+T_2= \dfrac{d}{v+v_0}+\dfrac{d}{v-v_0}$$ On pose \(v_0=x\). On étudie alors les variations de la fonction \(\phi : x\mapsto \dfrac{d}{v+x}+\dfrac{d}{v-x}\) sur l'intervalle \([0;v[\). Calculons sa dérivée : $$\begin{array}{rl} \phi '(x)&= -\dfrac{d}{(v+x)^2}-\dfrac{d\times (-1)}{(v-x)^2} \\ & = -\dfrac{d}{(v+x)^2}+\dfrac{d }{(v-x)^2} \\ &=\dfrac{d\left ( (v+x)^2-(v-x)^2 \right ) }{(v-x)^2(v+x)^2} \\ &=\dfrac{d\left ( v^2+x^2+2vx-(v^2+x^2-2vx) \right ) }{(v-x)^2(v+x)^2} \\ &=\dfrac{d\left ( 4vx \right ) }{(v-x)^2(v+x)^2} \\ \end{array}$$ La dérivée est clairement positive sur \([0;v[\). Ainsi \(\phi \) est strictement croissante sur \([0;v[\). Ce qui signifie que plus la vitesse du courant est importante, plus le temps mis pour faire l'aller-retour est important.
