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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 64

Le dictionnaire, le corrigé

Quel est le nombre de pages d’un dictionnaire dont la pagination a nécessité l’emploi de 3 897 caractères ?

Pour écrire les 9 premiers nombres ( de 1 à 9 ) , il faut 9 chiffres pour écrire les 99 premiers nombres ( de 1 à 99), il faut 9 + 90 \(\times\)2 chiffres soit 189 chiffres pour écrire les 999 premiers nombres , il faut 189 + 900 \(\times\)3 chiffres soit 2889 chiffres pour écrire les 9999 premiers nombres , il faut 2889 + 9000\(\times\) 4 chiffres soit 38889 chiffres. Le nombre de pages du dictionnaire est de 3 897, il est compris entre 2889 et 38889. Soit \(x\) le nombre de pages au dessus de 2889. Pour numéroter ces \(x\) pages il a fallu 4 \(x\) chiffres, mais aussi 3897 – 2889 chiffres. Ainsi 4 \(x\) = 3897 – 2889 ce qui donne \(x\)= 252. Le dictionnaire a alors 999 +252 = 1251 pages.

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 64

Le dictionnaire

Enoncé du problème n° 64 Quel est le nombre de pages d’un dictionnaire dont la pagination a nécessité l’emploi de 3 897 caractères ?

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 63

Une place pavée, le corrigé

Une place rectangulaire de 24 mètres par 45 mètres est pavée par des carrés de 30 cm de côté, disposés comme sur un damier. Une ficelle est tendue au sol entre deux coins opposés de la place (et il n’y a aucun obstacle). Au-dessus de combien de carrés la ficelle passe-t-elle ?

La place est recouverte par 80 x 150 carrés. Modélisation : dans un repère orthogonal d’origine A, plaçons le point B(150 ; 0) et le point D(0 ; 80). Construisons le rectangle ABCD, de dimensions 150 et 80. Ce rectangle représente la place, et une unité représente le côté d’un des carrés pavant la place. La ficelle peut alors être modélisée par \textcolor{blue}{[AC].} Sur ce graphique, chaque petit carré représente un carré du pavage. \((AC)\) a pour équation : \(y=80/150 x\) soit \(y=8/15 x\) On en déduit que le premier point à coordonnées entières appartenant au segment [AC], après A, a pour abscisse 15 et pour ordonnée 8.[AC] traverse donc, en diagonale, 10 rectangles de dimensions 15 et 8 unités. Zoomons sur l’un de ces rectangles et marquons d’un point rouge les carrés traversés par [AC] : on en compte 22. Conclusion : La ficelle passe au-dessus de 220 carrés