La première jarre contient du vin, la deuxième de l’eau. On prend un verre de vin dans la première que l’on verse dans l’autre. Puis dans, celle-ci, un verre du mélange que l’on reverse dans la jarre de vin. Y aura-t-il plus de vin dans l’eau que d’eau dans le vin, ou vice versa ?
Correction du problème n°81
Le volume contenu dans la jarre de vin est, après les deux opérations décrites, le même qu’au début. Par conséquent, la quantité d’eau qui a été apportée dans cette jarre de vin est compensée par une quantité identique de vin qui lui a été enlevée, et qui est allée dans la jarre d’eau. Il y aura autant d’eau dans le vin que de vin dans l’eau.
Remarque : le volume des jarres est alors sans impact sur ce raisonnement.
La première jarre contient du vin, la deuxième de l’eau. On prend un verre de vin dans la première que l’on verse dans l’autre. Puis dans, celle-ci, un verre du mélange que l’on reverse dans la jarre de vin. Y aura-t-il plus de vin dans l’eau que d’eau dans le vin, ou vice versa ?
Les trois demi-cercles ci-contre ont pour diamètre les côtés d’un triangle rectangle. Montrer que l’aire totale en rouge est égale à l’aire du triangle en bleu.
Histoire des maths. Ce résultat, appelé « quadrature des lunules », a été démontré par Hippocrate (460-377 av. J.-C.) et encouragea alors les mathématiciens à poursuivre la recherche d’un autre problème : la quadrature du cercle (tracer à la manière des grecs, c’est-à-dire à la règle non graduée et au compas, un carré ayant la même aire qu’un disque de rayon donné). Aucun n’y parvint et il aura fallu attendre 1882 pour que Ferdinand von Lindemann démontre que ce problème est insoluble, mettant ainsi un terme à plus de deux millénaires d’efforts !
Correction du problème n°80
Notons $L$ l’aire en rouge (lunules), $T$ l’aire en bleue (triangle) et l’aire entre les lunules et le triangle. Avec ces notations, le but de l’exercice est de démontrer que $L=T$. Soient $a,b$ et $c$ les trois rayons des demi-cercles dans l’ordre croissant. Ainsi, les côtés du triangle ont pour longueur (dans l’ordre croissant) :$2a,2b$ et $2c$. $L$ est égale à l’aire des demi-disques de rayon $a$ et $b$ ôtée de $B$. Or, $B=\dfrac{1}{2}\pi c^2 -T$. donc: $$L= \dfrac{1}{2}\pi a^2+\dfrac{1}{2}\pi b^2-\left(\dfrac{1}{2}\pi c^2-T\right)=\dfrac{1}{2}\pi\left(a^2+b^2-c^2\right).$$ Or, le triangle étant rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore. On a donc $$\left(2a\right)^2 +\left(2b\right)^2=\left(2c\right)^2.$$ soit $4a^2+4b^2=4c^2$ . Ainsi $a^2+b^2=c^2$ . En simplifiant l’expression de $L$, on obtient bien $L=T$.
