Problème n° 9 salle modulable ...Le corrigé
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Enoncé du problème n° 9
- La ville de Fiestacity dispose d’une belle salle de spectacle modulable.
- La salle peut être configurée de 3 manières différentes. Dans chacune de ces configurations, les sièges sont disposés en rectangle, chaque rangée comptant le même nombre de places. En enlevant à la configuration initiale tous les sièges du 1er rang, on peut augmenter de 4 unités le nombre de sièges de chaque rangée restante tout en gardant le même nombre total de places disponibles dans la salle.
- On peut aussi décider d’ajouter 4 rangées de sièges à la configuration initiale, toujours sans modifier le nombre total de places dans la salle ; mais, dans ce cas, le nombre de sièges par rangée diminue de 11 unités.
- Quel est le nombre total de places dans cette salle ? Justifier.
Auteur : Luc GIRAUD
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Correction du problème n° 9
Notons $x$ le nombre de rangées et $y$ le nombre de sièges d’une rangée.
En enlevant à la configuration initiale tous les sièges du 1er rang, on peut augmenter de 4 unités le nombre de sièges de chaque rangée restante tout en gardant le même nombre total de places disponibles dans la salle.
Ce qui se traduit par :
$$xy= (x-1)(y+4)$$
En développant :
$$xy=xy+4x-y-4$$
Soit :
$$4x-y=4$$
On peut aussi décider d’ajouter 4 rangées de sièges à la configuration initiale, toujours sans modifier le nombre total de places dans la salle ; mais, dans ce cas, le nombre de sièges par rangée diminue de 11 unités.
Ce qui se traduit par :
$$xy= (x+4)(y-11)$$
En développant :
$$xy=xy-11x+4y-44$$
Soit :
$$-11x+4y=44$$ On doit donc résoudre le système linéaire : $$\left\lbrace \begin{array}{lll} 4x-y&=&4~\\ ~ -11x+4y&=&44\\ \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{lll} 16x-4y&=&16~\\ ~ -11x+4y&=&44\\ \end{array} \right. $$
En ajoutant les deux équations, on obtient :
$$5x=60 \iff x= 12$$
En reportant $x=12$ dans , $4x-y=4$ on obtient :$y=4x-4=44$
Cette salle comporte 528 places. ( $44\times 12=528$)
Auteur : Luc GIRAUD
