Problème n° 9 salle modulable ...Le corrigé

• La ville de Fiestacity dispose d’une belle salle de spectacle modulable.
• La salle peut être configurée de 3 manières différentes. Dans chacune de ces configurations, les sièges sont disposés en rectangle, chaque rangée comptant le même nombre de places. En enlevant à la configuration initiale tous les sièges du 1er rang, on peut augmenter de 4 unités le nombre de sièges de chaque rangée restante tout en gardant le même nombre total de places disponibles dans la salle.
• On peut aussi décider d’ajouter 4 rangées de sièges à la configuration initiale, toujours sans modifier le nombre total de places dans la salle ; mais, dans ce cas, le nombre de sièges par rangée diminue de 11 unités.
• Quel est le nombre total de places dans cette salle ? Justifier.

Auteur : Luc GIRAUD

Notons $x$ le nombre de rangées et $y$ le nombre de sièges d’une rangée.

En enlevant à la configuration initiale tous les sièges du 1er rang, on peut augmenter de 4 unités le nombre de sièges de chaque rangée restante tout en gardant le même nombre total de places disponibles dans la salle.

Ce qui se traduit par :

$$xy= (x-1)(y+4)$$

En développant :

$$xy=xy+4x-y-4$$

Soit :

$$4x-y=4$$

On peut aussi décider d’ajouter 4 rangées de sièges à la configuration initiale, toujours sans modifier le nombre total de places dans la salle ; mais, dans ce cas, le nombre de sièges par rangée diminue de 11 unités.

Ce qui se traduit par :

$$xy= (x+4)(y-11)$$

En développant :

$$xy=xy-11x+4y-44$$

Soit :

$$-11x+4y=44$$ On doit donc résoudre le système linéaire : $$\left\lbrace \begin{array}{lll} 4x-y&=&4~\\ ~ -11x+4y&=&44\\ \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{lll} 16x-4y&=&16~\\ ~ -11x+4y&=&44\\ \end{array} \right. $$

En ajoutant les deux équations, on obtient :

$$5x=60 \iff x= 12$$

En reportant $x=12$ dans , $4x-y=4$ on obtient :$y=4x-4=44$

Cette salle comporte 528 places. ( $44\times 12=528$)

Auteur : Luc GIRAUD