Problème n°6 : les poignées de main ... Le corrigé

Écrit par Luc GIRAUD le . Publié dans Problème de Maths 2017_2018.

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  • Enoncé du problème n° 6

    • Si toutes les personnes qui se trouvent dans la classe se serrent tous la main une fois et une seule, combien de poignées de main y aura-t-il ?
    • Même question pour un groupe de 112 personnes.
    • Même question pour un groupe de 3 500 personnes.
    • Y-a-t il une règle ?

       

     

    Auteur : Luc GIRAUD

  • Correction du problème n° 6

    • Si toutes les personnes qui se trouvent dans la classe se serrent tous la main une fois et une seule, combien de poignées de main y aura-t-il ?
    • Même question pour un groupe de 112 personnes.
    • Même question pour un groupe de 3 500 personnes.
    • Y-a-t il une règle ?

       

    Auteur : Luc GIRAUD

    • Commençons donc avec un groupe de 36 personnes !
      • Dans une classe où se trouvent 36 personnes:
      • La première personne rentre dans la salle et s'installe...
      • Arrive la deuxième personne qui serre la main à la première.
      • Arrive la troisème qui fait 2 poignée de mains.
      • La quatrième , elle fera 3 poignées de mains ...
      • Ainsi de suite jusqu'à la trente sizième personne qui elle fera 35 poignées de mains.
      • En tout il y aura donc $1+2+3+4+\cdots 35$ poignées de mains.
      • $$\begin{array}{cccccccccccc} S& =&1&+&2&+&3&+&\cdots&+&35 \\ S& =&35&+&34&+&33&+&\cdots&+&1\\\hline 2S& =&36&+&36&+&36&+&\cdots&+&36\\ \end{array} $$ Ainsi $2S=\underbrace{36+36+36+\cdots+36}_{\text{ 35 termes}}= 35\times 36$
      • Dans une classe de 36 personnes, il y aura donc $\dfrac{35\times 36}{2}= 630$ poignées de mains.
    • Avec un groupe de 112 personnes, on recommence !
      • Dans une pièce où se trouvent 112 personnes:
      • La première personne rentre dans la salle et s'installe...
      • Arrive la deuxième personne qui serre la main à la première.
      • Arrive la troisème qui fait 2 poignée de mains.
      • La quatrième , elle fera 3 poignées de mains ...
      • Ainsi de suite jusqu'à la cent douzième personne qui elle fera 111 poignées de mains.
      • En tout il y aura donc $1+2+3+4+\cdots 111$ poignées de mains.
      • $$\begin{array}{cccccccccccc} S& =&1&+&2&+&3&+&\cdots&+&111 \\ S& =&111&+&110&+&109&+&\cdots&+&1\\\hline 2S& =&112&+&112&+&112&+&\cdots&+&112\\ \end{array} $$ Ainsi $2S=\underbrace{112+112+112+\cdots+112}_{\text{ 111 termes}}= 111\times 112$
      • Dans un groupe de 112 personnes, il y aura donc $\dfrac{111\times 112}{2}= 6216$ poignées de mains.
    • Même question pour un groupe de 3 500 personnes :
      • En tout il y aura donc $1+2+3+4+\cdots 3499$ poignées de mains.
      • $$\begin{array}{cccccccccccc} S& =&1&+&2&+&3&+&\cdots&+&3499 \\ S& =&3499&+&3498&+&3497&+&\cdots&+&1\\\hline 2S& =& 3500&+& 3500&+& 3500&+&\cdots&+&3500\\ \end{array} $$ Ainsi $2S=\underbrace{3500+3500+3500+\cdots+3500}_{\text{ 3499 termes}}= 3499\times 3500$
      • Dans un groupe de 3500 personnes, il y aura donc $\dfrac{3499\times 3500}{2}= 6123250$ poignées de mains.
      • Même question pour un groupe de $n$ personnes : En tout il y aura donc $1+2+3+4+\cdots+(n-2)+ (n-1)$ poignées de mains.
      • $$\begin{array}{cccccccccccc} S& =&1&+&2&+&3&+&\cdots&+&(n-1) \\ S& =&(n-1)&+&(n-2)&+&(n-3)&+&\cdots&+&1\\\hline 2S& =& n&+& n&+& n&+&\cdots&+&n\\ \end{array} $$ Ainsi $2S=\underbrace{(n+n+n+\cdots+n}_{\text{ $(n-1)$ termes}}= (n-1)\times n$
      • Dans un groupe de $n$ personnes, il y aura donc $\dfrac{n\times (n-1)}{2}$ poignées de mains.
      • Dans une assemblée de $n$ personnes, il y a $\dfrac{n(n-1)}{2}$ poignées de mains possibles.

Problème n°6 : les poignées de main ...

Écrit par Luc GIRAUD le . Publié dans Problème de Maths 2017_2018.

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Enoncé du problème n ° 6

  • Si toutes les personnes qui se trouvent dans la classe se serrent tous la main une fois et une seule, combien de poignées de main y aura-t-il ?
  • Même question pour un groupe de 112 personnes.
  • Même question pour un groupe de 3 500 personnes.
  • Y-a-t il une règle ?

Problème n°5 : Aïe, les racines .... Le corrigé

Écrit par Luc GIRAUD le . Publié dans Problème de Maths 2017_2018.

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  • Enoncé du problème n° 5

    Le but est de montrer que $A$ est un entier naturel : $$A=\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}-\sqrt{18}$$

    Auteur : Luc GIRAUD

  • Correction du problème n° 5

    Le but est de montrer que $A$ est un entier naturel : $$A=\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}-\sqrt{18}$$
    De la bonne utilisation du produit remarquable : $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
    • On écrit tout d'abord : $$\begin{array}{|rl} 9+4\sqrt 2 &= 1+4\sqrt 2+8\\ &=1^2+2\times 1\times 2\sqrt 2+ \left( 2\sqrt 2\right) ^2\\ &=\left( 1+2\sqrt 2\right) ^2 \end{array} $$
    • Ainsi :$$\begin{array}{|llr} \sqrt { 9+4\sqrt 2} &=\sqrt{\left( 1+2\sqrt 2\right) ^2}&\\ &= 2\sqrt 2 +1 &\text { car } 1+2\sqrt 2 > 0\\ \end{array} $$
    • Alors $$\begin{array}{|llr} \sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}} &=\sqrt{2+1+2\sqrt 2}&\\ &= \sqrt{\sqrt 2 ^2 +2\times \sqrt 2\times 1 +1^2}&\\ &= \sqrt{\left( \sqrt 2 +1\right) ^2} &\\ &= \sqrt 2 +1 &\text { car } \sqrt 2 +1 > 0 \end{array} $$
    • Puis $$\begin{array}{|llr} A= \sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}-\sqrt{18} &= \sqrt{13+30 \left( \sqrt 2 +1 \right)} -\sqrt{18}&\\ &= \sqrt{13+30 \sqrt 2 +30} -\sqrt{9\times 2 }&\\ &=\sqrt{43 +30\sqrt 2}-3\sqrt 2 & &\\ & & \end{array} $$
    • On met alors $43 +30\sqrt 2$ sous la forme $\left( a+b\sqrt 2\right) ^2$
    • On a $$\left( a+b\sqrt 2\right) ^2=a^2+2ab\sqrt 2+2b^2$$ Ainsi en identifiant on écrit $$\left\lbrace \begin{array}{lll} a^2+2b^2&=&43~\\ ~2ab &=&30\\ \end{array} \right. $$
    • On obtient $a=5$ et $b=3$.
    • Enfin : $$\begin{array}{|llr} A= \sqrt{43+30\sqrt 2}-3\sqrt{2} &= \sqrt{ \left( 5+3\sqrt 2\right) ^2}-3\sqrt{2} &\\ &= 5+3\sqrt 2 -3\sqrt{ 2 }&\text{ car } 5+3 \sqrt 2 > 0\\ &=5& \end{array} $$

    Ainsi $A$ est un entier! $A=5$.

    Auteur : Luc GIRAUD

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