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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 66

La course de fond, le corrigé

Deux athlètes disputent, au cours d’un match international, une course de fond. L’un accomplit tout le parcours à une vitesse de 360 mètres par minute. L’autre part très vite et couvre la première moitié de la distance à la vitesse de 400 mètres par minute, puis il faiblit et court la deuxième moitié à la vitesse de 320 mètres à la minute. Sachant que la différence des temps est de 20,9 secondes, de quelle épreuve s’agit-il ?

On note\(L\) la longueur du parcours. Le temps mis par le premier est\(\dfrac{L}{360}\) en minutes. Le temps mis par le deuxième est \(\dfrac{0,5L}{400} + \dfrac{0,5L}{320}\) en minutes. Or \(\dfrac{L}{360} = \dfrac{80 L }{28 800 }\)est inférieur à \(\dfrac{0,5L}{400} + \dfrac{0,5L}{320 }= \dfrac{81 L }{ 28 800}\). La différence des temps est de \(\dfrac{L }{28 800}\) en minutes. Or 20,9 secondes valent environ 0,348 min. Par suite $$L \approx 28 800 \times 0,348 \approx 10 \;002. $$ L’épreuve courue était un 10 000 mètres.

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 66

La course de fond

Enoncé du problème n° 66 Deux athlètes disputent, au cours d’un match international, une course de fond. L’un accomplit tout le parcours à une vitesse de 360 mètres par minute. L’autre part très vite et couvre la première moitié de la distance à la vitesse de 400 mètres par minute, puis il faiblit et court la deuxième moitié à la vitesse de 320 mètres à la minute. Sachant que la différence des temps est de 20,9 secondes, de quelle épreuve s’agit-il ?

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 65

Autour de la table, le corrigé

Dix personnes sont assises autour d’une table. Chacune pense à un nombre et le dit à ses deux voisins. Puis chaque personne dit à voix haute la moyenne des nombres de ses deux voisins. Si les nombres de 1 à 10, dans cet ordre, ont été annoncés, à quel nombre la personne qui a dit 6 a-t-elle pensé ?

Notons \(n_1 , n_2 ,\cdots,n_9 \) et \(n_10 \) les nombres auxquels ont pensé les personnes qui ont respectivement annoncé \(1, 2, \cdots , 9 \) et 10. Il s’agit donc de déterminer \(n_6 \). On a :  $$\left\lbrace \begin{array}{rl} \frac{n_{10}+n_2}{2}& =1\\ \frac{n_{1}+n_3}{2}& =2\\ \frac{n_{2}+n_4}{2}& =3\\ \frac{n_{3}+n_5}{2}& =4\\ \frac{n_{4}+n_6}{2}& =5\\ \frac{n_{5}+n_7}{2}& =6\\ \frac{n_{6}+n_8}{2}& =7\\ \frac{n_{7}+n_9}{2}& =8\\ \frac{n_{8}+n_{10}}{2}& =9\\ \frac{n_{9}+n_{1}}{2}& =10\\ \end{array} \right. \textbf{ soit } \left\lbrace \begin{array}{rl} n_{10}+n_2& =2\\ n_{1}+n_3& =4\\ n_{2}+n_4& =6\\ n_{3}+n_5& =8\\ n_{4}+n_6& =10\\ n_{5}+n_7& =12\\ n_{6}+n_8& =14\\ n_{7}+n_9& =16\\ n_{8}+n_{10}& =18\\ n_{9}+n_{1}& =20\\ \end{array} \right. $$ L’égalité \(n_4+n_6=10\) donne \(n_6=10-n_4 \); puis, comme \(n_2+n_4=6, n_6=10-(6-n_2) \) , soit \(n_6=4+n_2\) ; ensuite, comme \(n_{10}+n_2=2, n_6=4+(2- n_{10}) \), soit \(n_6=6-n_{10} \) ; on continue de la même façon : comme \(n_8+ n_{10}=18, n_6=6-(18-n_8) \) , soit \(n_6=-12+n_8\) ; et enfin, comme \(n_6+n_8=14, n_6=-12+(14-n_6) \) , soit \(2n_6=2\) , puis \(n_6=1\). La personne qui a dit 6 avait pensé au nombre 1.