Une urne contient $x$ boules noires, $y$ boules blanches et trois boules rouges, indiscernables au toucher. On tire, au hasard, une boule de l’urne. Sachant que la probabilité de tirer une boule noire est égale à $\frac{1}{4}$ et que celle d’obtenir une boule blanche est $\frac{5}{8}$ , déterminer le nombre de boules noires et de de boules blanches dans cette urne.
Correction du problème n°109
La probabilité de tirer une boule noire est : $\dfrac{x}{x+y+3}$.
Donc $\dfrac{x}{x+y+3}=\dfrac{1}{4}. $ Donc $4x=x+y+3.$ Soit $3x-y=3$.
La probabilité de tirer une boule blanche est : $\dfrac{y}{x+y+3}$.
Donc $\dfrac{y}{x+y+3} =\dfrac{5}{8}$ .
Donc $8y=5x+5y+15$. Soit $-5x+3y=15$.
Il s’agit alors de résoudre le système suivant :$$\left\lbrace
\begin{array}{l}
3x-y=3~\\
-5x+3y=15
\end{array}
\right. $$
On multiplie par 3 la 1ère équation. On obtient : $$\left\lbrace
\begin{array}{l}
9x-3y=9\\
-5x+3y=15
\end{array}
\right. $$
En ajoutant membre-à-membre les deux équations on obtient : $4x=24$. Donc $x=6$.
Or, $3x-y=3$. Donc $3\times 6-y=3$. Soit $18-y=3$. Donc $ y=15$.
Vérification :
la probabilité de tirer une boule noire est : $\frac{6}{24}= \frac{1}{4}$.
la probabilité de tirer une boule blanche est : $\frac{15}{24}= \frac{5}{8}$.
Il y a donc 6 boules noires et 15 boules blanches dans cette urne.
