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Problème n° 14: un empilement; le corrigé

  • Enoncé du problème n° 14

    • On réalise un empilement avec quatre oranges, assimilées à des sphères de rayon 4 cm ; chacune est en contact avec les trois autres.
    • Calculer la hauteur h de cet empilement.
    Indication : utiliser le résultat suivant : « Dans un tétraèdre régulier ABCD, le projeté orthogonal d’un sommet, A par exemple, sur la face opposée (BCD) est le centre du triangle équilatéral BCD ».

     

     

    Auteur : Lionel DARIE

  • Correction du problème n° 14

    • On réalise un empilement avec quatre oranges, assimilées à des sphères de rayon 4 cm ; chacune est en contact avec les trois autres.
    • Calculer la hauteur h de cet empilement.
    Indication : utiliser le résultat suivant : « Dans un tétraèdre régulier ABCD, le projeté orthogonal d’un sommet, A par exemple, sur la face opposée (BCD) est le centre du triangle équilatéral BCD ».

     

    Auteur : Lionel DARIE

      • On appelle B,C et D les centres respectifs des trois oranges posées sur le plan de la table et A le centre de l’orange au sommet, posée sur les trois autres. ABCD est alors un tétraèdre régulier, de côté a=2R, où R est le rayon d’une orange. Ici, R=4 cm donc a=8 cm.
      • Montrons d’abord que la hauteur d’un tétraèdre régulier de côté a est d=a23:
      • Soit G le projeté orthogonal de A sur la face opposée (BCD). G est le centre du triangle équilatéral BCD. G est à la fois le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit, le centre du cercle inscrit etc.
      • Dans le triangle équilatéral BCD, on note H le milieu de [CD]. [BH] est une médiane de BCD, donc passe par G. On sait que le centre de gravité d’un triangle est situé au deux tiers de la médiane, en partant du sommet donc : BG=23BH
      • Or, BCH est un triangle rectangle en H car dans un triangle équilatéral, les médianes sont aussi des hauteurs. D’après le théorème de Pythagore : BC2=CH2+BH2 donc BH2=BC2CH2
        donc BH2=a2(12a)2=34a2
        donc BH=a32 . Ainsi, BG==23BH=23×a32
        donc BG=33a
      • La triangle ABG étant rectangle en G, on peut à nouveau appliquer le théorème de Pythagore :
        AB2=AG2+BG2
        donc AG2=AB2BG2 donc AG2=a213a2=23a2 d’où AG=a23
      • Finalement, la hauteur totale de notre empilement d’oranges est :
        h=R+d+R soit : h=2R+a23 et comme a=2R, h=2R(1+23). Avec R=4cm, on obtient h=8(1+23) soit h14,53 cm.
    Conclusion : la hauteur h de cet empilement est h=8(1+23) soit h14,53 cm.

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