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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 40

Une équation? Le corrigé

Combien existe-t-il de nombres réels \(x\) tels que : \((x^2-7x+11)^{x^2-3x+2}=1 \; \) ?

L’égalité \((x^2-7x+11)^{x^2-3x+2}=1 \)ne peut être obtenue que dans les 3 cas suivants. 1er cas. \(x^2-3x+2=0 \). C’est-à-dire \((x-1)(x-2)=0 \) Soit \(x=1\) , avec \(x^2-7x+11=1-7+11=5\) et on a bien \(5^0=1\) Soit \(x=2\) , avec \(x^2-7x+11=4-14+11=1\) et on a bien \(1^0=1\) 2ème cas. \(x^2-7x+11= 1\) C’est-à-dire \(x^2-7x+10= 0\) C’est-à-dire \((x-2)(x-5)=0 \) Soit \(x=2\) , avec \(x^2-3x+2=4-6+2=0\) et on a bien \(2^0=1\) Soit \(x=5\) , avec \(x^2-3x+2=25-15+2=12\) et on a bien \(12^0=1\) 3ème cas. \(x^2-7x+11= -1\) C’est-à-dire \(x^2-7x+12= 0\) C’est-à-dire \((x-3)(x-4)=0 \) Et, soit \(x=3\) , avec \(x^2-3x+2=9-9+2=2\) et on a bien \((-1)^2=1\) Soit \(x=4\) , avec \(x^2-3x+2=16-12+2=6\) et on a bien \((-1)^6=1\) Finalement, 5 nombres réels conviennent : 1, 2, 3, 4 et 5.

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 40

Une équation ?

Ennoncé du problème n° 40 Combien existe-t-il de nombres réels \(x\)tels que : \((x^2-7x+11)^{x^2-3x+2}=1 \; \) ?

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 39

L'étudiant pressé, le corrigé

Un étudiant se rend tous les jours à la fac en vélo. Il fait le trajet à 20 km/h de moyenne. À quelle vitesse doit-il aller au retour pour que sa vitesse moyenne sur l’aller-retour soit de 40 km/h?

Illustrons le problème : Si on nomme : \(d\) la distance séparant la maison de la faculté, \(v_1\) la vitesse durant le trajet Maison \(\rightarrow\) Faculté \(t_1\) le temps pour faire le trajet Maison \(\rightarrow\) Faculté \(v_2\) la vitesse durant le trajet  Faculté\(\rightarrow\) Maison \(t_2\) le temps pour faire le trajet  Faculté\(\rightarrow\) Maison \(v_{\text{Moyen}}\) la vitesse moyenne durant le trajet  Maison \(\rightarrow\)Faculté\(\rightarrow\) Maison On a \(v_1 =20\) On veut que \(v_{\text{Moyen}}=40\)  On a \(v_1=\dfrac{d}{t_1}\) , \(v_2=\dfrac{d}{t_2}\) et \(v_{\text{Moyen}}=\dfrac{2d}{t_1+t_2}\) Comme \(v_1=\dfrac{d}{t_1}\), on déduit \(t_1=\dfrac{d}{v_1}\) ; de même \(t_2=\dfrac{d}{v_2}\)  $$v_{\text{Moyen}}=\dfrac{2d}{t_1+t_2}= \dfrac{2d}{\dfrac{d}{v_1}+\dfrac{d}{v_2}}= \dfrac{2}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}}$$ On déduit donc $$\dfrac{v_{\text{Moyen}}}{2}= \dfrac{1}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}}$$ Soit en prenant les inverses : $$\dfrac{2}{v_{\text{Moyen}}}= \dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}$$ Si on reprend les données du problème, on obtient : $$\dfrac{2}{40}= \dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{v_2} \iff  \dfrac{1}{v_2}= 0$$ Ce qui n'est pas possible !