Enoncé du problème n° 42 Il était d’usage dans le Japon antique d’offrir aux dieux amateurs de Mathématiques des problèmes de géométrie gravés sur des tablettes. C’était l’art du "sangaku". Sur l’une des tablettes retrouvées, quelques coups de pinceau retraçaient l’énigme : le triangle est rectangle ; ses deux côtés de l’angle droit mesurent respectivement 8 et 15. Retrouvez les rayons des deux cerles
Soit \(n = 9 + 99 + 999 +\cdots + 99 \cdots 9\), où le dernier nombre ajouté est constitué de 999 chiffres 9. Combien de fois le chiffre 1 apparaît-il dans \(n \)?
Soit la somme : \(n=9+99+999+9999+...+9999...999 \) Le dernier nombre de cette somme contenant 999 chiffres 9. Cette somme comporte donc 999 termes et elle peut s’écrire : \(n=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+.....+(10^{99}-1) \)En changeant l’ordre des termes , on peut écrire : \(n=10+100+1000+10000+...+10^{99}-999 \) Soit encore : \(n=11111...10-999 \) où le premier nombre de cette différence est constitué de 999 chiffres 1 et d’un chiffre 0. On peut écrire \(n \) sous la forme : \(n=111111...1110000+1110-999 \)où le premier nombre de cette somme comporte 996 chiffres 1 et 4 chiffres 0.Or \(1110-999=111 \) Donc \(n \) peut s’écrire : \(n=111111...110111 \) Ainsi \(n \) est constitué de 996 chiffres 1, d’un chiffre 0, puis de 3 chiffres 1. L’écriture de \(n \) comporte 999 chiffres 1.
Ennoncé du problème n° 41 Soit \(n = 9 + 99 + 999 +\cdots + 99 \cdots 9\), où le dernier nombre ajouté est constitué de 999 chiffres 9. Combien de fois le chiffre 1 apparaît-il dans \(n \) ?
