Maths ...

Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 41

Combien de 1 ? Le corrigé

Soit \(n = 9 + 99 + 999 +\cdots + 99 \cdots 9\), où le dernier nombre ajouté est constitué de 999 chiffres 9. Combien de fois le chiffre 1 apparaît-il dans \(n \)?

Soit la somme : \(n=9+99+999+9999+...+9999...999 \) Le dernier nombre de cette somme contenant 999 chiffres 9. Cette somme comporte donc 999 termes et elle peut s’écrire : \(n=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+.....+(10^{99}-1) \)En changeant l’ordre des termes , on peut écrire : \(n=10+100+1000+10000+...+10^{99}-999 \) Soit encore : \(n=11111...10-999 \) où le premier nombre de cette différence est constitué de 999 chiffres 1 et d’un chiffre 0. On peut écrire \(n \) sous la forme : \(n=111111...1110000+1110-999 \)où le premier nombre de cette somme comporte 996 chiffres 1 et 4 chiffres 0.Or \(1110-999=111 \) Donc \(n \) peut s’écrire : \(n=111111...110111 \) Ainsi \(n \) est constitué de 996 chiffres 1, d’un chiffre 0, puis de 3 chiffres 1. L’écriture de \(n \) comporte 999 chiffres 1.

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 41

Combien de 1 ?

Ennoncé du problème n° 41 Soit \(n = 9 + 99 + 999 +\cdots + 99 \cdots 9\), où le dernier nombre ajouté est constitué de 999 chiffres 9. Combien de fois le chiffre 1 apparaît-il dans \(n \) ?

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 40

Une équation? Le corrigé

Combien existe-t-il de nombres réels \(x\) tels que : \((x^2-7x+11)^{x^2-3x+2}=1 \; \) ?

L’égalité \((x^2-7x+11)^{x^2-3x+2}=1 \)ne peut être obtenue que dans les 3 cas suivants. 1er cas. \(x^2-3x+2=0 \). C’est-à-dire \((x-1)(x-2)=0 \) Soit \(x=1\) , avec \(x^2-7x+11=1-7+11=5\) et on a bien \(5^0=1\) Soit \(x=2\) , avec \(x^2-7x+11=4-14+11=1\) et on a bien \(1^0=1\) 2ème cas. \(x^2-7x+11= 1\) C’est-à-dire \(x^2-7x+10= 0\) C’est-à-dire \((x-2)(x-5)=0 \) Soit \(x=2\) , avec \(x^2-3x+2=4-6+2=0\) et on a bien \(2^0=1\) Soit \(x=5\) , avec \(x^2-3x+2=25-15+2=12\) et on a bien \(12^0=1\) 3ème cas. \(x^2-7x+11= -1\) C’est-à-dire \(x^2-7x+12= 0\) C’est-à-dire \((x-3)(x-4)=0 \) Et, soit \(x=3\) , avec \(x^2-3x+2=9-9+2=2\) et on a bien \((-1)^2=1\) Soit \(x=4\) , avec \(x^2-3x+2=16-12+2=6\) et on a bien \((-1)^6=1\) Finalement, 5 nombres réels conviennent : 1, 2, 3, 4 et 5.