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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 49

 3 cercles tangents

Enoncé du problème n° 49 Déterminer la longueur du rectangle, lorsque les 3 cercles ont pour rayons respectifs 1, 4, 2.

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 48

Une fonction particulière, le corrigé

Soit \(f\) la fonction définie sur l’ensemble des entiers naturel par : l’image d’un entier \(n\) est le plus petit chiffre de son écriture décimale (en base 10). Par exemple : \(f(2015) = 0\) Que vaut : \(f(100) + f(101) + f(102) + ... + f(998) + f(999) \)?

On peut procéder ainsi : Il y a un seul nombre dont l’image est 9. Il y a 7 nombres dont l’image est 8 : 988, 989, 899, 889, 898, 988, 888. Il y a 19 nombres dont l’image est 7 : 997, 979, 799, 887, 878, 788, 779, 797, 977, 778, 787, 877, 987, 978, 897, 879, 798, 789 et 777. Il y a 37 nombres dont l’image est 6, Il y a 61 nombres dont l’image est 5, Il y a 91 nombres dont l’image est 4, Il y a 127 nombres dont l’images est 3, Il y a 169 nombres dont l’image est 2 et Il y a 217 nombres dont l’image est 1. On peut remarquer que 7 = 1 + 6 ; 19 = 7 + 12 ; 37 = 19 + 18 et ainsi de suite. La somme à chercher est donc : $$9\times 1+8\times 7+7\times19+...+1\times217=2025$$ On peut aussi vérifier qu’il y a 171 nombres dont l’image est 0 et qu’en ajoutant $$1+7+19+37+....+217+171=900$$ on retrouve les 900 nombres de 100 à 999. Conclusion : $$f(100) + f(101) + f(102) + ... + f(998) + f(999)=2025$$

# Probleme une fonction particuliere def liste_chiffres_base_dix(n): L=[] while n!=0: L.append(n%10) n=n//10 return L print(liste_chiffres_base_dix(1234)) def f(n): y=min(liste_chiffres_base_dix(n)) return y print(f(2018)) S=0 for i in range(99,999) : S=S+f(i) print(S)

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 47

Le drapeau, le corrigé

Un drapeau a la forme d’un triangle équilatéral. Il est suspendu par deux de ses sommets en haut de mâts verticaux de 3 et 4 mètres. Le 3ème sommet affleure exactement le sol. Quelle est la longueur du côté de ce drapeau ?

L’observation de la figure doit vous faire penser aux triangles rectangles et aux formules de trigonométrie. On pose \(AB = BC = CA = x, DC=y\) et \(CE = z \) Les triangles \(ADC,BCE\), et \(AFE\) sont rectangles respectivement en \(D,E\) et \(F\), donc d'après la propriété de Pythagore, on a : \(AC^2= AD^2+DC^2\) soit \(x^2=9+y^2\) soit \(y^2=x^2-9\) ( 1) \(BC^2 = BE^2 + EC^2\) soit \(x^2 = 16 + z^2\) soit \(z^2 = x^2 - 16\).(2) \(AB^2 = AF^2 + FB^2\) soit \(x^2 = 1 + (y + z)^2\) soit \(x^2 - 1 +y^2 + z^2 + 2yz \)(3) L’addition de (1) et (2) nous donne : \(y^2 + z^2 = 2x^2 - 25\) On remplace dans (3) : \(x^2 = 1 + (2x^2 - 25) + 2yz\) donc \(2yz = x^2 - 1 - 2x^2 + 25\) soit \(2yz = 24 -x^2\) soit \(4y^2z^2 = (24 - x2)^2\) On remplace \(y^2\) et \(z^2\) par leur valeur donnée en (1) et (2) : $$4(x^2 - 9)(x^2 - 16) = (24 - x^2)^2$$ On obtient donc : $$4(x^4 - 16x^2 - 9x^2 + 144) = 576 - 48x^2 + x^4 $$ $$4x^4 - 100x^2 + 576 = 576 - 48x^2 + x^4 $$ $$ 3x^4 - 52x^2 = 0 $$ $$x^2(3x^2 - 52) = 0$$ $$x^2 = 0 \text{ ou } 3x^2 - 52 = 0$$ $$ x=0 \text{ ou } x= \sqrt{\dfrac{52}{3}} \text{ ou } x=- \sqrt{\dfrac{52}{3}}$$ Or \(x \) est une longueur non nulle, donc le côté du drapeau mesure \(\sqrt{\dfrac{52}{3}}\) mètres, soit environ 4.16 mètres.