Maths ...

Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 59

Les jetons, le corrigé

Esma possède 4 jetons dont les faces sont numérotées de 1 à 8. Elle les lance trois fois. La première fois, elle obtient 1 ; 3 ; 4 et 6 ; la deuxième fois, elle obtient 1 ; 3 ; 5 et 7 ; et la troisième fois elle obtient 2 ; 3 ; 6 et 7. Quelle est la valeur maximale de la somme qu’Esma peut obtenir en additionnant les chiffres visibles lorsqu’elle lance ses quatre jetons ?

Imaginons que les quatre jetons d’Esma soient bleu, jaune, rouge et vert. En utilisant le résultat du premier lancer, admettons que le jeton bleu porte sur une de ses faces un 1, que le jeton jaune porte sur une de ses faces un 3, que le jeton rouge porte sur une de ses faces un 4, et que le jeton vert porte sur une de ses faces un 6. La deuxième fois, comme le 1 et le 3 sortent à nouveau, cela signifie que le 5 et le 7 figurent sur les jetons rouge et vert. soit le jeton rouge est 4/5 et le jeton vert est 6/7 soit le jeton rouge est 4/7 et le jeton vert est 6/5 ou La troisième fois, le 6 et le 7 sortent simultanément, donc ils ne peuvent pas figurer sur les faces d’un même jeton. Il en résulte, d’après le point précédent, que le jeton rouge est 4/7 et le jeton vert est 6/5. Lors de ce troisième lancer, le 3 apparaît à nouveau, donc le jeton jaune est sur la même face que lors du premier lancer. On a donc : Conclusion : jeton bleu : 1/2 ; jeton jaune : 3/8 ; jeton rouge : 4/7 ; jeton vert : 5/6. Donc la somme maximale qu’Esma peut obtenir est 2+8+7+6 = 23.

Maths ...

Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 59

Les jetons

Enoncé du problème n° 59 Esma possède 4 jetons dont les faces sont numérotées de 1 à 8. Elle les lance trois fois. La première fois, elle obtient 1 ; 3 ; 4 et 6 ; la deuxième fois, elle obtient 1 ; 3 ; 5 et 7 ; et la troisième fois elle obtient 2 ; 3 ; 6 et 7. Quelle est la valeur maximale de la somme qu’Esma peut obtenir en additionnant les chiffres visibles lorsqu’elle lance ses quatre jetons ?

Maths ...

Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 58

Année 2019, le corrigé

Quels sont les nombres à quatre chiffres \(n\) tels que la somme de \(n\) et de ses quatre chiffres soit égale à 2019 ? Exemple : 1998 ne convient pas car $$1998 + 1 + 9 + 9 + 8 = 2025. $$

Notons \(a, b, c\) et \(d\) les chiffres qui composent \(n\), tels que : $$n=1000 a+100 b+10 c+d.$$ On cherche donc à déterminer tous les quadruplets de chiffres \((a ;b ;c ;d) \) vérifiant : $$1000 a+100 b+10 c+d+a+b+c+d=2019$$ qui équivaut à : $$1001 a+101 b+11 c+2d=2019$$ Comme \(n\) est un nombre à quatre chiffres, \(a\neq 0\) ; par ailleurs, l’égalité ci-dessus impose \(a=1\) ou \(a=2\)(pour \(a\geq 3, 1001 a+101 b+11 c+2d\geq 3003 \) donc l’égalité ne saurait être vérifiée). Si \(a=1\) : L’égalité \(1001 a+101 b+11 c+2d=2019 \) devient \(101 b+11 c+2d=1018 \) $$\begin{array}{rl} \text{Comme} c\leq 9 \text{ et } d\leq 9 & \text{ on a } 1 c+2d\leq 99+18\\ & \text{ donc } 11 c+2d\leq 117 \\ & \text{ puis } 101b+11 c+2d\leq 101b+117\\ & 1018\leq 101b+117\\ &101b\geq 901\\ \end{array}$$ \(b\) étant un chiffre, pour satisfaire cette inégalité, il faut et il suffit que \(b=9\) $$\begin{array}{rl} \text{ Il vient ensuite : } & 909+11 c+2d=1018 \\ \text{ qui donne : } & 11 c+2d=109 \\ & \end{array}$$ Comme \(d\leq 9\), on a \(2d \leq 18 \) donc \(11 c+2d\leq 11c+18 \) puis \(109\leq 11c+18\) \(11c\geq 91 \) \(c\) étant un chiffre, pour satisfaire cette inégalité, il faut et il suffit que \(c=9\) On obtient enfin : \(99+2d=109\) qui donne \( d=5\). On peut vérifier : le nombre 1995 convient. Si \(a=2 \): L’égalité \(1001 a+101 b+11 c+2d=2019\) devient \(101 b+11 c+2d=17\) qui impose \(b=0\) . On cherche alors les chiffres \(c \) et \(d\) tels que \(11 c+2d=17\). La seule possibilité est \(c=1\) et \(d=3\). On peut vérifier : le nombre 2013 convient. Conclusion : Les seuls nombres solutions sont 1995 et 2013.

# Annee 2019 def liste_chiffres_base_dix(n): L=[] while n!=0: L.append(n%10) n=n//10 return L print(liste_chiffres_base_dix(3251)) T=[] for a in range(0,10): for b in range(0,10): for c in range(0,10): for d in range(0,10): e= 1000*a+100*b+10*c+d +a+b+c+d if e==2019 : T.append(1000*a+100*b+10*c+d) print(T)